Het vinden van voorwaarden voor factorretouren en schaalrendementen

Een factorrendement is het rendement dat kan worden toegeschreven aan een bepaalde gemeenschappelijke factor, of een element dat velen beïnvloedt activa die factoren kunnen omvatten zoals marktkapitalisatie, dividendrendement en risico-indices, om er maar een paar te noemen. Terugkeer naar schaal verwijst daarentegen naar wat er gebeurt als de productieschaal op de lange termijn toeneemt omdat alle inputs variabel zijn. Met andere woorden, schaalrendementen vertegenwoordigen de verandering in output van een evenredige toename van alle inputs.

Om deze concepten in het spel te brengen, laten we eens kijken naar een productiefunctie met een oefenprobleem voor factorrendementen en schaalrendementen.

Houd rekening met de productie functieQ = K^eenL^b.

Als economiestudent wordt u mogelijk gevraagd naar de voorwaarden een en b zodanig dat de productiefunctie een afnemend rendement op elke factor vertoont, maar een groter schaalrendement. Laten we eens kijken hoe u dit zou kunnen aanpakken.

Bedenk dat in het artikel Toenemende, afnemende en constante terugkeer naar schaal dat we deze factorrendementen en schaalrendementsvragen gemakkelijk kunnen beantwoorden door simpelweg de noodzakelijke factoren te verdubbelen en enkele eenvoudige vervangingen uit te voeren.

Stijgend keert terug naar schaal zou zijn wanneer we verdubbelen allemaal factoren en productie meer dan verdubbeld. In ons voorbeeld hebben we twee factoren K en L, dus we verdubbelen K en L en kijken wat er gebeurt:

Q = K^eenL^b

Laten we nu al onze factoren verdubbelen en deze nieuwe productiefunctie Q 'noemen

Q '= (2K)^een(2L)^b

Herschikken leidt tot:

Q '= 2^{a + b}K^eenL^b

Nu kunnen we terug in onze oorspronkelijke productiefunctie, Q:

Q '= 2^{a + b}Q

Om Q '> 2Q te krijgen, hebben we 2 nodig^{(a + b)} > 2. Dit gebeurt wanneer a + b> 1.

Zolang a + b> 1, zullen we toenemende schaalopbrengsten hebben.

Maar volgens onze oefen probleemhebben we ook afnemende rendementen nodig om in te schalen elke factor. Afnemende rendementen voor elke factor treden op wanneer we verdubbelen slechts één factor, en de output verdubbelt minder dan. Laten we het eerst proberen voor K met de originele productiefunctie: Q = K^eenL^b

Laten we nu dubbele K, en noem deze nieuwe productiefunctie Q '

Q '= (2K)^eenL^b

Herschikken leidt tot:

Q '= 2^eenK^eenL^b

Nu kunnen we terug in onze oorspronkelijke productiefunctie, Q:

Q '= 2^eenQ

Om 2Q> Q 'te krijgen (aangezien we een lager rendement voor deze factor willen), hebben we 2> 2 nodig^een. Dit gebeurt wanneer 1> a.

De wiskunde is vergelijkbaar voor factor L als we de oorspronkelijke productiefunctie beschouwen: Q = K^eenL^b

Laten we nu dubbele L, en noem deze nieuwe productiefunctie Q '

Q '= K^een(2L)^b

Herschikken leidt tot:

Q '= 2^bK^eenL^b

Nu kunnen we terug in onze oorspronkelijke productiefunctie, Q:

Q '= 2^bQ

Om 2Q> Q 'te krijgen (aangezien we een lager rendement voor deze factor willen), hebben we 2> 2 nodig^een. Dit gebeurt wanneer 1> b.

Er zijn dus uw voorwaarden. Je hebt a + b> 1, 1> a en 1> b nodig om afnemende rendementen voor elke factor van de functie te laten zien, maar om de schaalvergroting te vergroten. Door factoren te verdubbelen, kunnen we gemakkelijk voorwaarden scheppen waarin we een hoger rendement op schaal hebben, maar een afnemend rendement op schaal in elke factor.

• Elasticiteit van vraagpraktijkprobleem
• Geaggregeerde vraag en geaggregeerd aanbodpraktijkprobleem