Hoe 'If and Only If' te gebruiken in de wiskunde

Bij het lezen over statistiek en wiskunde is een zin die regelmatig opduikt 'als en alleen als'. Deze zin komt vooral voor in uitspraken van wiskundige stellingen of bewijzen. Maar wat betekent deze verklaring precies?

Om te begrijpen 'als en alleen als', moeten we eerst weten wat er wordt bedoeld met een voorwaardelijke verklaring. Een voorwaardelijke verklaring is er een die wordt gevormd uit twee andere verklaringen, die we zullen aanduiden met P en Q. Om een ​​voorwaardelijke verklaring te vormen, zouden we kunnen zeggen 'als P dan Q'.

Hieronder volgen voorbeelden van dit soort verklaringen:

• Regent het buiten, dan neem ik mijn paraplu mee tijdens mijn wandeling.
• Als je hard studeert, verdien je een A.
• Als n is dan deelbaar door 4 n is deelbaar door 2.

Drie andere verklaringen hebben betrekking op elke voorwaardelijke verklaring. Deze worden de omgekeerd, omgekeerd en het contrapositieve. We vormen deze verklaringen door de volgorde van P en Q te veranderen van de oorspronkelijke voorwaardelijke en het woord "niet" in te voegen voor de inverse en contrapositieve.

We hoeven hier alleen het omgekeerde te overwegen. Deze verklaring is afkomstig van het origineel door te zeggen "als Q dan P." Stel dat we beginnen met het voorwaardelijke 'als het buiten regent, dan ik neem mijn paraplu mee tijdens mijn wandeling. ” Het tegenovergestelde van deze stelling is: “als ik mijn paraplu meeneem tijdens mijn wandeling, dan regent het buiten."

We hoeven alleen maar naar dit voorbeeld te kijken om te beseffen dat de oorspronkelijke voorwaardelijke niet logisch hetzelfde is als het omgekeerde. De verwarring van deze twee formulieren staat bekend als een omgekeerde fout. Je kunt een paraplu meenemen tijdens een wandeling, ook al regent het buiten misschien niet.

Voor een ander voorbeeld beschouwen we de voorwaardelijke "Als een getal deelbaar is door 4, dan is het deelbaar door 2." Deze verklaring is duidelijk waar. Het tegenovergestelde van deze verklaring is echter: 'Als een getal deelbaar is door 2, dan is het deelbaar door 4', is onjuist. We hoeven alleen maar naar een getal zoals 6 te kijken. Hoewel 2 dit getal deelt, doet 4 dat niet. Hoewel de oorspronkelijke verklaring waar is, is het omgekeerde niet het geval.

Dit brengt ons bij een biconditionele verklaring, die ook bekend staat als een 'als en slechts als' verklaring. Bepaalde voorwaardelijke verklaringen hebben ook conversaties die waar zijn. In dit geval kunnen we een zogenaamde biconditionele verklaring vormen. Een biconditionele verklaring heeft de vorm:

"Als P dan Q, en als Q dan P."

Sinds dit bouw is enigszins onhandig, vooral wanneer P en Q hun eigen logische verklaringen zijn, vereenvoudigen we de verklaring van een biconditioneel door de zin te gebruiken "als en alleen als." In plaats van te zeggen "als P dan Q, en als Q dan P", zeggen we in plaats daarvan "P als en alleen als Q." Deze constructie elimineert wat redundantie.

Voor een voorbeeld van de zinsnede 'als en alleen als' dat statistiek betreft, hoeft u niet verder te zoeken dan een feit met betrekking tot de standaarddeviatie van de steekproef. De standaarddeviatie van een dataset is gelijk aan nul al dan niet als alle gegevenswaarden identiek zijn.

We breken deze biconditionele verklaring op in een voorwaardelijke en het omgekeerde. Vervolgens zien we dat deze verklaring het volgende betekent:

• Als de standaardafwijking nul is, zijn alle gegevenswaarden identiek.
• Als alle gegevenswaarden identiek zijn, is de standaarddeviatie gelijk aan nul.

Als we proberen een biconditioneel te bewijzen, splitsen we het meestal. Hierdoor bestaat ons bewijs uit twee delen. Een onderdeel dat we bewijzen is "als P dan Q". Het andere deel van het bewijs dat we nodig hebben is "als Q dan P."

Biconditionele verklaringen hebben betrekking op voorwaarden die zowel noodzakelijk als voldoende zijn. Overweeg de verklaring 'als het vandaag is Pasen, dan is het morgen maandag. ' Vandaag Pasen zijn is voldoende voor morgen maandag, maar het is niet nodig. Vandaag zou elke andere zondag dan Pasen kunnen zijn, en morgen zou het nog steeds maandag zijn.

De uitdrukking "als en alleen als" wordt algemeen genoeg gebruikt in wiskundig schrijven dat het zijn eigen afkorting heeft. Soms wordt de biconditioneel in de verklaring van de uitdrukking 'als en alleen als' afgekort tot eenvoudig 'iff'. Dus de verklaring “P als en alleen als Q” wordt “P iff Q.”