Verschillende stellingen in waarschijnlijkheid kunnen worden afgeleid uit de axioma's van waarschijnlijkheid. Deze stellingen kunnen worden toegepast om waarschijnlijkheden te berekenen die we misschien willen weten. Een dergelijk resultaat staat bekend als de complementregel. Met deze verklaring kunnen we de waarschijnlijkheid van een berekenen evenementEEN door de waarschijnlijkheid van het complement te kennen EENC. Na het vermelden van de complementregel zullen we zien hoe dit resultaat kan worden bewezen.
De complementregel
Het complement van het evenement EEN wordt aangeduid met EENC. Het complement van EEN is de ingesteld van alle elementen in de universele verzameling, of voorbeeldruimte S, dat zijn geen elementen van de set EEN.
De complementregel wordt uitgedrukt door de volgende vergelijking:
P (EENC) = 1 - P (EEN)
Hier zien we dat de waarschijnlijkheid van een gebeurtenis en de waarschijnlijkheid van zijn complement tot 1 moet komen.
Bewijs van de aanvullende regel
Om de complementregel te bewijzen, beginnen we met de axioma's van waarschijnlijkheid. Deze verklaringen worden verondersteld zonder bewijs. We zullen zien dat ze systematisch kunnen worden gebruikt om onze bewering over de waarschijnlijkheid van het complement van een evenement te bewijzen.
- Het eerste axioma van waarschijnlijkheid is dat de kans op een gebeurtenis niet-negatief is echt nummer.
- Het tweede axioma van waarschijnlijkheid is dat de waarschijnlijkheid van de gehele monsterruimte S is een. Symbolisch schrijven we P (S) = 1.
- Het derde axioma van waarschijnlijkheid stelt dat If EEN en B sluiten elkaar uit (wat betekent dat ze een leeg kruispunt hebben), dan vermelden we de waarschijnlijkheid van de vereniging van deze evenementen als P (EEN U B ) = P (EEN) + P (B).
Voor de complementregel hoeven we het eerste axioma in de bovenstaande lijst niet te gebruiken.
Om onze verklaring te bewijzen, beschouwen we de gebeurtenissen EENen EENC. Uit de verzamelingenleer weten we dat deze twee sets een leeg snijpunt hebben. Dit komt omdat een element niet tegelijkertijd in beide kan voorkomen EEN en niet in EEN. Aangezien er een leeg kruispunt is, zijn deze twee sets dat wel wederzijds exclusief.
De vereniging van de twee evenementen EEN en EENC zijn ook belangrijk. Dit zijn uitputtende gebeurtenissen, wat betekent dat de unie van deze evenementen is alle voorbeeldruimte S.
Deze feiten, gecombineerd met de axioma's, geven ons de vergelijking
1 = P (S) = P (EEN U EENC) = P (EEN) + P (EENC) .
De eerste gelijkheid is te danken aan het tweede waarschijnlijkheids axioma. De tweede gelijkheid is omdat de gebeurtenissen EEN en EENC zijn uitputtend. De derde gelijkheid is vanwege het derde waarschijnlijkheids axioma.
De bovenstaande vergelijking kan worden herschikt in de vorm die we hierboven hebben vermeld. Alles wat we moeten doen is de waarschijnlijkheid aftrekken EEN van beide kanten van de vergelijking. Dus
1 = P (EEN) + P (EENC)
wordt de vergelijking
P (EENC) = 1 - P (EEN).
We kunnen de regel natuurlijk ook uitdrukken door te stellen dat:
P (EEN) = 1 - P (EENC).
Alle drie deze vergelijkingen zijn gelijkwaardige manieren om hetzelfde te zeggen. We zien aan dit bewijs hoe slechts twee axioma's en sommige verzamelingenleer een lange weg banen om ons te helpen nieuwe verklaringen over waarschijnlijkheid te bewijzen.