In de statistiek is de complementregel een stelling die een verband legt tussen de waarschijnlijkheid van een evenement en de waarschijnlijkheid van het complement van de gebeurtenis op zo'n manier dat als we een van deze kansen kennen, we automatisch de andere kennen.
De complementregel komt goed van pas bij het berekenen van bepaalde kansen. Vaak is de kans op een gebeurtenis rommelig of ingewikkeld om te berekenen, terwijl de kans op een complement veel eenvoudiger is.
Voordat we zien hoe de complementregel wordt gebruikt, zullen we specifiek definiëren wat deze regel is. We beginnen met een beetje notatie. Het complement van het evenement EEN, bestaande uit alle elementen in de voorbeeldruimteS dat zijn geen elementen van de set EEN, wordt aangeduid met EENC.
Verklaring van de aanvullende regel
De complementregel wordt vermeld als "de som van de waarschijnlijkheid van een gebeurtenis en de waarschijnlijkheid van zijn complement is gelijk aan 1", zoals uitgedrukt door de volgende vergelijking:
P (EENC) = 1 - P (EEN)
Het volgende voorbeeld laat zien hoe u de complementregel gebruikt. Het zal duidelijk worden dat deze stelling de waarschijnlijkheidsberekeningen zowel zal versnellen als vereenvoudigen.
Waarschijnlijkheid zonder de aanvullingsregel
Stel dat we acht eerlijke munten omdraaien - wat is de kans dat we ten minste één hoofd laten zien? Een manier om dit te achterhalen is door de volgende kansen te berekenen. De noemer van elk wordt verklaard door het feit dat er 2 zijn8 = 256 resultaten, elk even waarschijnlijk. Alle volgende ons een formule voor combinaties:
- De kans om precies één kop om te draaien is C (8,1) / 256 = 8/256.
- De kans om precies twee koppen om te draaien is C (8,2) / 256 = 28/256.
- De kans om precies drie koppen om te draaien is C (8,3) / 256 = 56/256.
- De kans om precies vier koppen om te draaien is C (8,4) / 256 = 70/256.
- De kans om precies vijf koppen om te draaien is C (8,5) / 256 = 56/256.
- De kans om precies zes koppen om te draaien is C (8,6) / 256 = 28/256.
- De kans om precies zeven koppen om te draaien is C (8,7) / 256 = 8/256.
- De kans om precies acht koppen om te draaien is C (8,8) / 256 = 1/256.
Dit zijn wederzijds exclusief gebeurtenissen, dus we tellen de waarschijnlijkheden bij elkaar op met behulp van de juiste toevoeging regel. Dit betekent dat de kans dat we ten minste één hoofd hebben 255 van de 256 is.
De complementregel gebruiken om waarschijnlijkheidsproblemen te vereenvoudigen
We berekenen nu dezelfde waarschijnlijkheid met behulp van de complementregel. Het complement van het evenement 'We draaien ten minste één hoofd' is het evenement 'Er zijn geen hoofden'. Er is één manier waarop dit kan gebeuren, wat ons de kans geeft op 1/256. We gebruiken de complementregel en vinden dat onze gewenste waarschijnlijkheid één min één van 256 is, wat gelijk is aan 255 van 256.
Dit voorbeeld toont niet alleen het nut aan, maar ook de kracht van de complementregel. Hoewel er niets mis is met onze oorspronkelijke berekening, was het behoorlijk ingewikkeld en vereiste het meerdere stappen. Toen we daarentegen de complementregel voor dit probleem gebruikten, waren er niet zoveel stappen waarbij berekeningen mis konden gaan.