Een van de meest gebruikte constanten in de wiskunde is het getal pi, dat wordt aangeduid met de Griekse letter π. Het concept van pi is ontstaan in de meetkunde, maar dit aantal heeft toepassingen in de wiskunde en komt voor in uiteenlopende onderwerpen, waaronder statistiek en waarschijnlijkheid. Pi heeft zelfs culturele erkenning en een eigen vakantie gekregen, met de viering van Pi-dagactiviteiten rond de wereld.
De waarde van Pi
Pi wordt gedefinieerd als de verhouding tussen de omtrek van een cirkel en de diameter. De waarde van pi is iets groter dan drie, wat betekent dat elke cirkel in het universum een omtrek heeft met een lengte die iets meer is dan driemaal de diameter. Meer specifiek heeft pi een decimale weergave die begint 3.14159265... Dit is slechts een deel van de decimale uitbreiding van pi.
Pi-feiten
Pi heeft veel fascinerende en ongebruikelijke kenmerken, waaronder:
- Pi is een irrationeel echt nummer. Dit betekent dat pi niet als een breuk kan worden uitgedrukt a / b waar een en b zijn beide gehele getallen. Hoewel de getallen 22/7 en 355/113 nuttig zijn bij het schatten van pi, is geen van deze breuken de werkelijke waarde van pi.
- Omdat pi een irrationeel getal is, wordt de decimale uitbreiding nooit beëindigd of herhaald. Er zijn enkele vragen over deze decimale uitbreiding, zoals: Komt elke mogelijke reeks cijfers ergens in de decimale uitbreiding van pi voor? Als elke mogelijke tekenreeks verschijnt, dan is je mobiele telefoonnummer ergens in de uitbreiding van pi (maar dat geldt ook voor iedereen).
- Pi is een transcendent getal. Dit betekent dat pi niet de nul is van een polynoom met integercoëfficiënten. Dit feit is belangrijk bij het verkennen van meer geavanceerde functies van pi.
- Pi is geometrisch belangrijk, en niet alleen omdat het de omtrek en diameter van een cirkel relateert. Dit nummer wordt ook weergegeven in de formule voor het gebied van een cirkel. De oppervlakte van een cirkel met straal r is EEN = pi r2. Het getal pi wordt gebruikt in andere geometrische formules, zoals de oppervlakte en het volume van een bol, het volume van een kegel en het volume van een cilinder met een ronde basis.
- Pi verschijnt wanneer het minst wordt verwacht. Overweeg voor een van de vele voorbeelden hiervan de oneindige som 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 +... Deze som convergeert naar de waarde pi2/6.
Pi in statistieken en waarschijnlijkheid
Pi maakt verrassende verschijningen in de hele wiskunde, en sommige van deze verschijningen zijn in de onderwerpen waarschijnlijkheid en statistiek. De formule voor de standaard normale verdeling, ook wel bekend als de belcurve, heeft het getal pi als een normalisatieconstante. Met andere woorden, door te delen door een uitdrukking met pi, kun je zeggen dat het gebied onder de curve gelijk is aan één. Pi maakt deel uit van de formules voor andere kansverdelingen ook.
Een ander verrassend voorkomen van pi in waarschijnlijkheid is een eeuwenoud experiment met naaldwerpen. In de 18e eeuw Georges-Louis Leclerc, Comte de Buffon stelde een vraag met betrekking tot de kans op het laten vallen van naalden: Begin met een vloer met houten planken met een uniforme breedte waarin de lijnen tussen elk van de planken evenwijdig aan elkaar zijn. Neem een naald die korter is dan de afstand tussen de planken. Als u een naald op de vloer laat vallen, hoe groot is de kans dat deze op een lijn tussen twee van de houten planken terechtkomt?
Het blijkt dat de kans dat de naald op een lijn tussen twee planken terechtkomt tweemaal de naaldlengte is, gedeeld door de lengte tussen de planken maal pi.