Momentgenererende functie voor binominale distributie

Het gemiddelde en de variantie van een willekeurige variabele X met een binomiale kansverdeling kan moeilijk direct te berekenen zijn. Hoewel het duidelijk kan zijn wat er moet gebeuren bij het gebruik van de definitie van de verwachte waarde van X en X², de daadwerkelijke uitvoering van deze stappen is een lastig jongleren van algebra en sommaties. Een alternatieve manier om het gemiddelde en de variantie van a te bepalen binominale distributie is het gebruik van de moment genererende functie voor X.

Begin met de willekeurige variabele X en beschrijf de kansverdeling specifieker. Uitvoeren n onafhankelijke Bernoulli-proeven, die elk kans van slagen hebben p en faalkans 1 - p. De kans-massafunctie is dus

f (X) = C(n, X)p^X(1 – p)^{n - X}

Hier de term C(n, X) geeft het aantal combinaties van aan n elementen genomen X tegelijk, en X kan de waarden 0, 1, 2, 3, aannemen..., n.

Gebruik deze kansmassafunctie om de momentgenererende functie van te verkrijgen X:

M(t) = Σ_{X = 0}ⁿe^TXC(n,X)>)p^X(1 – p)^{n - X}.

Het wordt duidelijk dat je de termen kunt combineren met exponent van X:

M(t) = Σ_{X = 0}ⁿ (pe^t)^XC(n,X)>)(1 – p)^{n - X}.

Bovendien is de bovenstaande uitdrukking met behulp van de binominale formule eenvoudig:

M(t) = [(1 – p) + pe^t]ⁿ.

Om de te vinden gemeen en variantie, je moet beide kennen M'(0) en M’’(0). Begin met het berekenen van uw afgeleiden en evalueer ze vervolgens allemaal op t = 0.

Je zult zien dat de eerste afgeleide van de momentgenererende functie is:

M’(t) = n(pe^t)[(1 – p) + pe^t]^{n - 1}.

Hieruit kunt u het gemiddelde van de kansverdeling berekenen. M(0) = n(pe⁰)[(1 – p) + pe⁰]^{n - 1} = np. Dit komt overeen met de uitdrukking die we rechtstreeks hebben verkregen uit de definitie van het gemiddelde.

De berekening van de variantie wordt op een vergelijkbare manier uitgevoerd. Onderscheid eerst de functie voor het genereren van momenten opnieuw, en dan evalueren we deze afgeleide op t = 0. Hier zie je dat

M’’(t) = n(n - 1)(pe^t)²[(1 – p) + pe^t]^{n - 2} + n(pe^t)[(1 – p) + pe^t]^{n - 1}.

Om de variantie van deze willekeurige variabele te berekenen, moet je zoeken M’’(t). Hier heb je M’’(0) = n(n - 1)p² +np. De variantie σ² van uw distributie is

σ² = M’’(0) – [M’(0)]² = n(n - 1)p² +np - (np)² = np(1 - p).

Hoewel deze methode enigszins betrokken is, is deze niet zo ingewikkeld als het rechtstreeks berekenen van het gemiddelde en de variantie op basis van de waarschijnlijkheidsmassafunctie.