Exponentiële functies vertel de verhalen van explosieve verandering. De twee soorten exponentiële functies zijn exponentiële groei en exponentieel verval. Vier variabelen (procentuele verandering, tijd, het bedrag aan het begin van de periode en het bedrag aan het einde van de periode) spelen rollen in exponentiële functies. Gebruik een exponentiële vervalfunctie om het bedrag aan het begin van de periode te vinden.
Exponentieel verval
Exponentieel verval is de verandering die optreedt wanneer een oorspronkelijk bedrag gedurende een bepaalde periode met een consistent percentage wordt verlaagd.
Hier is een exponentiële vervalfunctie:
y = een(1-b)X
- y: Laatste bedrag dat overblijft na het verval gedurende een bepaalde periode
- een: Het oorspronkelijke bedrag
- X: Tijd
- De vervalfactor is (1-b)
- De variabele b is het percentage van de afname in decimale vorm.
Doel van het vinden van het oorspronkelijke bedrag
Als je dit artikel leest, ben je waarschijnlijk ambitieus. Over zes jaar wilt u misschien een nastreven
bachelordiploma bij Dream University. Met een prijskaartje van $ 120.000 roept Dream University financiële nachtmerries op. Na slapeloze nachten ontmoeten u, mama en papa een financiële planner. De bloeddoorlopen ogen van je ouders worden helder als de planner onthult dat een investering met een groeipercentage van acht procent je gezin kan helpen het doel van $ 120.000 te bereiken. Hard studeren. Als jij en je ouders vandaag $ 75.620,36 investeren, dan wordt Dream University jouw realiteit dankzij exponentieel verval.Hoe op te lossen
Deze functie beschrijft de exponentiële groei van de investering:
120,000 = een(1 +.08)6
- 120.000: Eindbedrag resterend na 6 jaar
- .08: Jaarlijks groeipercentage
- 6: Het aantal jaren om de investering te laten groeien
- een: Het initiële bedrag dat uw gezin heeft geïnvesteerd
Dankzij de symmetrische eigenschap van gelijkheid, 120.000 = een(1 +.08)6 is hetzelfde als een(1 +.08)6 = 120,000. Symmetrische eigenschap van gelijkheid stelt dat als 10 + 5 = 15, dan 15 = 10 + 5.
Als je de vergelijking liever herschrijft met de constante (120.000) rechts van de vergelijking, doe dat dan.
een(1 +.08)6 = 120,000
Toegegeven, de vergelijking ziet er niet uit als een lineaire vergelijking (6een = $ 120.000), maar het is oplosbaar. Blijf erbij!
een(1 +.08)6 = 120,000
Los deze exponentiële vergelijking niet op door 120.000 te delen door 6. Het is een verleidelijke wiskunde nee-nee.
1. Gebruik de volgorde van bewerkingen om te vereenvoudigen
een(1 +.08)6 = 120,000
een(1.08)6 = 120.000 (haakjes)
een(1.586874323) = 120.000 (exponent)
2. Oplossen door delen
een(1.586874323) = 120,000
een(1.586874323) / (1.586874323) = 120,000 / (1.586874323)
1een = 75,620.35523
een = 75,620.35523
Het oorspronkelijke bedrag om te investeren is ongeveer $ 75.620,36.
3. Freeze: je bent nog niet klaar; gebruik de volgorde van bewerkingen om uw antwoord te controleren
120,000 = een(1 +.08)6
120,000 = 75,620.35523(1 +.08)6
120,000 = 75,620.35523(1.08)6 (Haakjes)
120.000 = 75.620.35523 (1.586874323) (Exponent)
120.000 = 120.000 (vermenigvuldiging)
Antwoorden en uitleg op de vragen
Woodforest, Texas, een buitenwijk van Houston, is vastbesloten de digitale kloof in zijn gemeenschap te dichten. Een paar jaar geleden ontdekten gemeenschapsleiders dat hun burgers computergeletterd waren. Ze hadden geen toegang tot de internet en werden buitengesloten van de informatiesnelweg. De leiders richtten het World Wide Web on Wheels op, een reeks mobiele computerstations.
World Wide Web on Wheels heeft zijn doel van slechts 100 computergeletterde burgers in Woodforest bereikt. Leiders van de gemeenschap bestudeerden de maandelijkse voortgang van het World Wide Web on Wheels. Volgens de gegevens kan de achteruitgang van ongeletterde computerburgers worden beschreven door de volgende functie:
100 = een(1 - .12)10
1. Hoeveel mensen zijn computergeletterd 10 maanden na de start van het World Wide Web on Wheels?
- 100 mensen
Vergelijk deze functie met de originele exponentiële groeifunctie:
100 = een(1 - .12)10
y = een(1 + b)X
De variabely vertegenwoordigt het aantal computer analfabeten aan het einde van de 10 maanden, dus 100 mensen zijn nog steeds computer analfabeet nadat het World Wide Web on Wheels in de gemeenschap begon te werken.
2. Vertegenwoordigt deze functie exponentieel verval of exponentiële groei?
- Deze functie vertegenwoordigt exponentieel verval omdat een negatief teken voor de procentuele verandering staat (.12).
3. Wat is de maandelijkse verandering?
- 12 procent
4. Hoeveel mensen waren computergeletterd 10 maanden geleden, bij het begin van het World Wide Web on Wheels?
- 359 mensen
Gebruikvolgorde van bewerkingen versimpelen.
100 = een(1 - .12)10
100 = een(.88)10 (Haakjes)
100 = een(.278500976) (Exponent)
Verdelen om op te lossen.
100(.278500976) = een(.278500976) / (.278500976)
359.0651689 = 1een
359.0651689 = een
Gebruik de volgorde van bewerkingen om uw antwoord te controleren.
100 = 359.0651689(1 - .12)10
100 = 359.0651689(.88)10 (Haakjes)
100 = 359.0651689 (.278500976) (Exponent)
100 = 100 (vermenigvuldigen)
5. Als deze trends doorgaan, hoeveel mensen zullen dan 15 maanden na het begin van het World Wide Web on Wheels computergeletterd zijn?
- 52 mensen
Voeg toe wat je weet over de functie.
y = 359.0651689(1 - .12) X
y = 359.0651689(1 - .12) 15
Gebruik de volgorde van bewerkingen om te zoeken y.
y = 359.0651689(.88)15 (Haakjes)
y = 359.0651689 (.146973854) (Exponent)
y = 52.77319167 (vermenigvuldigen).