Verwachte waarde van een binominale distributie

Binomiale distributies zijn een belangrijke klasse van discrete kansverdelingen. Dit soort distributies zijn een reeks van n onafhankelijke Bernoulli-proeven, die elk een constante kans hebben p van succes. Zoals bij elke kansverdeling willen we graag weten wat het gemiddelde of middelpunt is. Hiervoor vragen we echt: “Wat is de verwachte waarde van de binominale verdeling? '

Als we zorgvuldig nadenken over een binominale distributie, het is niet moeilijk om vast te stellen dat de verwachte waarde van dit type kansverdeling is np. Overweeg het volgende voor een paar snelle voorbeelden hiervan:

• Als we 100 munten gooien, en X is het aantal koppen, de verwachte waarde van X is 50 = (1/2) 100.
• Als we een meerkeuzetest doen met 20 vragen en elke vraag heeft vier keuzes (slechts één van wat correct is), dan zou willekeurig gissen betekenen dat we alleen (1/4) 20 = 5 vragen zouden verwachten correct.

In beide voorbeelden zien we dat E [X] = n p. Twee zaken zijn nauwelijks genoeg om tot een conclusie te komen. Hoewel intuïtie een goed hulpmiddel is om ons te begeleiden, is het niet voldoende om een ​​wiskundig argument te vormen en te bewijzen dat iets waar is. Hoe bewijzen we definitief dat de verwachte waarde van deze verdeling inderdaad is

Uit de definitie van verwachte waarde en de waarschijnlijkheidsmassafunctie voor de binominale distributie van n proeven van de kans op succes pkunnen we aantonen dat onze intuïtie overeenkomt met de vruchten van wiskundige nauwkeurigheid. We moeten enigszins voorzichtig zijn in ons werk en behendig zijn in onze manipulaties van de binominale coëfficiënt die wordt gegeven door de formule voor combinaties.

We beginnen met de formule:

E [X] = Σ _{x = 0}ⁿ x C (n, x) p^X(1-p)^{n - x}.

Aangezien elke termijn van de sommatie wordt vermenigvuldigd met X, de waarde van de term die overeenkomt met x = 0 zal 0 zijn, en dus kunnen we schrijven:

E [X] = Σ _{x = 1}ⁿ x C (n, x) p ^X (1 - p) ^{n - x} .

Door de faculteiten te manipuleren die betrokken zijn bij de uitdrukking voor C (n, x) we kunnen herschrijven

x C (n, x) = n C (n - 1, x - 1).

Dit is waar omdat:

x C (n, x) = xn! / (x! (n - x)!) = n! / ((x - 1)! (n - x)!) = n (n - 1)! / (( x - 1)! ((n - 1) - (x - 1))!) = n C (n - 1, x - 1).

Het volgt dat:

E [X] = Σ _{x = 1}ⁿ n C (n - 1, x - 1) p ^X (1 - p) ^{n - x} .

We houden rekening met de n en een p uit de bovenstaande uitdrukking:

E [X] = np Σ _{x = 1}ⁿ C (n - 1, x - 1) p ^{x - 1} (1 - p) ^{(n - 1) - (x - 1)} .

Een verandering van variabelen r = x - 1 geeft ons:

E [X] = np Σ _{r = 0}^{n - 1} C (n - 1, r) p ^r (1 - p) ^{(n - 1) - r} .

Door de binominale formule, (x + y)^k = Σ _{r = 0} ^kC (k, r) x^r y^{k - r} bovenstaande opsomming kan worden herschreven:

E [X] = (np) (p + (1 - p))^{n - 1} = np.

Het bovenstaande argument heeft ons een lange weg afgelegd. Vanaf het begin alleen met de definitie van verwachte waarde en waarschijnlijkheidsmassafunctie voor een binominale distributie, hebben we bewezen wat onze intuïtie ons vertelde. De verwachte waarde van de binominale distributieB (n, p) is n p.