Waarschijnlijkheid van een grote straat in Yahtzee in één rol

Yahtzee is een dobbelspel dat gebruik maakt van vijf standaard zeszijdige dobbelstenen. Bij elke beurt krijgen spelers drie rollen om verschillende doelen te behalen. Na elke worp mag een speler beslissen welke van de dobbelstenen (indien van toepassing) behouden blijven en welke opnieuw worden gegooid. De doelstellingen omvatten een verscheidenheid aan verschillende soorten combinaties, waarvan er vele afkomstig zijn van poker. Elke combinatie is een ander aantal punten waard.

Twee van de soorten combinaties die spelers moeten gooien worden genoemd rechte stukken: een kleine straat en een grote straat. Net als bij poker straights, bestaan ​​deze combinaties uit opeenvolgende dobbelstenen. Kleine rechte stukken gebruiken vier van de vijf dobbelstenen en grote rechte stukken gebruiken alle vijf de dobbelstenen. Vanwege de willekeur van het gooien van dobbelstenen, kan de waarschijnlijkheid worden gebruikt om te analyseren hoe waarschijnlijk het is om een ​​grote straat in een enkele worp te gooien.

We nemen aan dat de gebruikte dobbelstenen eerlijk en onafhankelijk van elkaar zijn. Er is dus een uniforme monsterruimte die bestaat uit alle mogelijke rollen van de vijf dobbelstenen. Hoewel Yahtzee drie rollen toestaat, zullen we voor de eenvoud alleen het geval beschouwen dat we een grote rechte in een enkele rol krijgen.

Aangezien we werken met een uniformvoorbeeldruimtewordt de berekening van onze waarschijnlijkheid een berekening van een aantal telproblemen. De kans op een straat is het aantal manieren om een ​​straat te rollen, gedeeld door het aantal uitkomsten in de steekproefruimte.

Het is heel eenvoudig om het aantal uitkomsten in de steekproefruimte te tellen. We werpen vijf dobbelstenen en elk van deze dobbelstenen kan een van zes verschillende uitkomsten hebben. Een basistoepassing van het vermenigvuldigingsprincipe vertelt ons dat de monsterruimte 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 6 heeft⁵ = 7776 resultaten. Dit getal zal de noemer zijn van alle fracties die we gebruiken voor onze waarschijnlijkheden.

Vervolgens moeten we weten hoeveel manieren er zijn om een ​​grote straat te rollen. Dit is moeilijker dan het berekenen van de grootte van de voorbeeldruimte. De reden waarom dit moeilijker is, is omdat er meer subtiliteit is in hoe we tellen.

Een grote straat is moeilijker te rollen dan een kleine straat, maar het is gemakkelijker om het aantal manieren om een ​​grote straat te rollen te tellen dan het aantal manieren om een ​​kleine straat te rollen. Dit type straat bestaat uit vijf opeenvolgende nummers. Omdat er slechts zes verschillende nummers op de dobbelstenen staan, zijn er slechts twee mogelijke grote rechte stukken: {1, 2, 3, 4, 5} en {2, 3, 4, 5, 6}.

Nu bepalen we het verschillende aantal manieren om een ​​bepaalde set dobbelstenen te werpen die ons een straat geven. Voor een grote straat met de dobbelstenen {1, 2, 3, 4, 5} kunnen we de dobbelstenen in elke volgorde hebben. Dus het volgende zijn verschillende manieren om hetzelfde recht te rollen:

• 1, 2, 3, 4, 5
• 5, 4, 3, 2, 1
• 1, 3, 5, 2, 4

Het zou vervelend zijn om alle mogelijke manieren te vermelden om een ​​1, 2, 3, 4 en 5 te krijgen. Omdat we alleen moeten weten hoeveel manieren er zijn om dit te doen, kunnen we enkele basistechnieken gebruiken. We merken op dat we alleen bezig zijn permuteren de vijf dobbelstenen. Er zijn er 5! = 120 manieren om dit te doen. Aangezien er twee combinaties van dobbelstenen zijn om een ​​grote straat te maken en 120 manieren om elk van deze te werpen, zijn er 2 x 120 = 240 manieren om een ​​grote straat te werpen.

Nu is de waarschijnlijkheid van het rollen van een groot rechte stuk een eenvoudige delingsberekening. Omdat er 240 manieren zijn om een ​​groot recht in een enkele rol te rollen en er zijn 7776 rollen van vijf dobbelstenen mogelijk, de kans op het rollen van een grote straat is 240/7776, dat is bijna 1/32 en 3.1%.

Het is natuurlijk waarschijnlijker dat de eerste worp geen straight is. Als dit het geval is, mogen we nog twee rollen een straight veel waarschijnlijker maken. De waarschijnlijkheid hiervan is veel gecompliceerder om te bepalen vanwege alle mogelijke situaties waarmee rekening moet worden gehouden.