Kansen voor het gooien van drie dobbelstenen

Dobbelstenen bieden geweldige illustraties voor concepten in waarschijnlijkheid. De meest gebruikte dobbelstenen zijn blokjes met zes zijden. Hier zullen we zien hoe we waarschijnlijkheden berekenen voor het gooien van drie standaard dobbelstenen. Het is een relatief standaard probleem om de waarschijnlijkheid van de verkregen som te berekenen twee dobbelstenen. Er zijn in totaal 36 verschillende rollen met twee dobbelstenen, met een som van 2 tot 12 mogelijk.Hoe verandert het probleem als we meer dobbelstenen toevoegen?

Net zoals één dobbelsteen zes resultaten heeft en twee dobbelstenen zes² = 36 resultaten, het waarschijnlijkheidsexperiment van het gooien van drie dobbelstenen heeft 6³ = 216 resultaten. Dit idee generaliseert verder voor meer dobbelstenen. Als we rollen n dobbelstenen dan zijn er 6ⁿ resultaten.

We kunnen ook kijken naar de mogelijke sommen van het gooien van meerdere dobbelstenen. De kleinst mogelijke som vindt plaats wanneer alle dobbelstenen de kleinste zijn, of elk één. Dit geeft een som van drie als we drie dobbelstenen gooien. Het hoogste aantal op een dobbelsteen is zes, wat betekent dat de grootst mogelijke som optreedt wanneer alle drie de dobbelstenen zessen zijn. De som van deze situatie is 18.

Wanneer n dobbelstenen worden gegooid, de laagst mogelijke som is n en de grootst mogelijke som is 6n.

• Er is een manier waarop drie dobbelstenen er in totaal 3 kunnen zijn
• 3 manieren voor 4
• 6 voor 5
• 10 voor 6
• 15 voor 7
• 21 voor 8
• 25 voor 9
• 27 voor 10
• 27 voor 11
• 25 voor 12
• 21 voor 13
• 15 voor 14
• 10 voor 15
• 6 voor 16
• 3 voor 17
• 1 voor 18

Zoals hierboven besproken, omvatten de mogelijke sommen voor drie dobbelstenen elk getal van drie tot 18. De kansen kunnen worden berekend met behulp van telstrategieën en erkennen dat we op zoek zijn naar manieren om een ​​nummer in precies drie hele getallen te verdelen. De enige manier om bijvoorbeeld een som van drie te krijgen, is 3 = 1 + 1 + 1. Omdat elke dobbelsteen onafhankelijk is van de andere, kan een som als vier op drie verschillende manieren worden verkregen:

• 1 + 1 + 2
• 1 + 2 + 1
• 2 + 1 + 1

Verdere telargumenten kunnen worden gebruikt om het aantal manieren te vinden om de andere sommen te vormen. De partities voor elke som volgen:

• 3 = 1 + 1 + 1
• 4 = 1 + 1 + 2
• 5 = 1 + 1 + 3 = 2 + 2 + 1
• 6 = 1 + 1 + 4 = 1 + 2 + 3 = 2 + 2 + 2
• 7 = 1 + 1 + 5 = 2 + 2 + 3 = 3 + 3 + 1 = 1 + 2 + 4
• 8 = 1 + 1 + 6 = 2 + 3 + 3 = 4 + 3 + 1 = 1 + 2 + 5 = 2 + 2 + 4
• 9 = 6 + 2 + 1 = 4 + 3 + 2 = 3 + 3 + 3 = 2 + 2 + 5 = 1 + 3 + 5 = 1 + 4 + 4
• 10 = 6 + 3 + 1 = 6 + 2 + 2 = 5 + 3 + 2 = 4 + 4 + 2 = 4 + 3 + 3 = 1 + 4 + 5
• 11 = 6 + 4 + 1 = 1 + 5 + 5 = 5 + 4 + 2 = 3 + 3 + 5 = 4 + 3 + 4 = 6 + 3 + 2
• 12 = 6 + 5 + 1 = 4 + 3 + 5 = 4 + 4 + 4 = 5 + 2 + 5 = 6 + 4 + 2 = 6 + 3 + 3
• 13 = 6 + 6 + 1 = 5 + 4 + 4 = 3 + 4 + 6 = 6 + 5 + 2 = 5 + 5 + 3
• 14 = 6 + 6 + 2 = 5 + 5 + 4 = 4 + 4 + 6 = 6 + 5 + 3
• 15 = 6 + 6 + 3 = 6 + 5 + 4 = 5 + 5 + 5
• 16 = 6 + 6 + 4 = 5 + 5 + 6
• 17 = 6 + 6 + 5
• 18 = 6 + 6 + 6

Wanneer drie verschillende nummers de partitie vormen, zoals 7 = 1 + 2 + 4, zijn er 3! (3x2x1) verschillende manieren van permuterend deze nummers. Dit telt dus mee voor drie resultaten in de steekproefruimte. Als twee verschillende nummers de partitie vormen, zijn er drie verschillende manieren om deze nummers te permuteren.

We delen het totale aantal manieren om elke som te verkrijgen door het totale aantal resultaten in de voorbeeldruimteof 216. De resultaten zijn:

• Kans op een som van 3: 1/216 = 0,5%
• Kans op een som van 4: 3/216 = 1,4%
• Kans op een som van 5: 6/216 = 2,8%
• Kans op een som van 6: 10/216 = 4,6%
• Kans op een som van 7: 15/216 = 7,0%
• Kans op een som van 8: 21/216 = 9,7%
• Kans op een som van 9: 25/216 = 11,6%
• Kans op een som van 10: 27/216 = 12,5%
• Kans op een som van 11: 27/216 = 12,5%
• Kans op een som van 12: 25/216 = 11,6%
• Kans op een som van 13: 21/216 = 9,7%
• Kans op een som van 14: 15/216 = 7,0%
• Kans op een som van 15: 10/216 = 4,6%
• Kans op een som van 16: 6/216 = 2,8%
• Kans op een som van 17: 3/216 = 1,4%
• Kans op een som van 18: 1/216 = 0,5%

Zoals te zien is, zijn de extreme waarden van 3 en 18 het minst waarschijnlijk. De bedragen die precies in het midden liggen, zijn het meest waarschijnlijk. Dit komt overeen met wat werd waargenomen bij het gooien van twee dobbelstenen.