De Dirac-deltafunctie is de naam die wordt gegeven aan een wiskundige structuur die bedoeld is om een geïdealiseerd puntobject voor te stellen, zoals een puntmassa of puntlading. Het heeft brede toepassingen binnen de kwantummechanica en de rest van kwantumfysica, zoals het gewoonlijk binnen het kwantum wordt gebruikt Golf functie. De delta-functie wordt weergegeven met het Griekse kleine symbool delta, geschreven als een functie: δ (X).
Hoe de deltafunctie werkt
Deze weergave wordt bereikt door de Dirac-deltafunctie zo te definiëren dat deze overal een waarde van 0 heeft, behalve bij de invoerwaarde van 0. Op dat moment vertegenwoordigt het een piek die oneindig hoog is. De integraal over de hele lijn is gelijk aan 1. Als je calculus hebt bestudeerd, ben je dit fenomeen waarschijnlijk eerder tegengekomen. Houd er rekening mee dat dit een concept is dat normaal gesproken wordt geïntroduceerd bij studenten na jarenlang studeren op theoretisch niveau op universitair niveau.
Met andere woorden, de resultaten zijn de volgende voor de meest elementaire deltafunctie δ (
X), met een eendimensionale variabele X, voor enkele willekeurige invoerwaarden:- δ(5) = 0
- δ(-20) = 0
- δ(38.4) = 0
- δ(-12.2) = 0
- δ(0.11) = 0
- δ(0) = ∞
U kunt de functie opschalen door deze met een constante te vermenigvuldigen. Onder de regels van de calculus zal vermenigvuldigen met een constante waarde ook de waarde van de integraal met die constante factor verhogen. Aangezien de integraal van δ (X) over alle reële getallen is 1, en vermenigvuldigen met een constante van zou een nieuwe integraal hebben die gelijk is aan die constante. Dus bijvoorbeeld 27δ (X) heeft een integraal over alle reële getallen van 27.
Een ander handig ding om te overwegen is dat aangezien de functie alleen een waarde van nul heeft voor een invoer van 0, en als je kijkt een coördinatenraster waar uw punt niet precies op 0 staat, dit kan worden weergegeven met een uitdrukking binnen de functie-invoer. Dus als je het idee wilt representeren dat het deeltje op een positie zit X = 5, dan zou je de Dirac-deltafunctie schrijven als δ (x - 5) = ∞ [sinds δ (5 - 5) = ∞].
Als u deze functie vervolgens wilt gebruiken om een reeks puntdeeltjes binnen een kwantumsysteem weer te geven, kunt u dit doen door verschillende dirac-deltafuncties bij elkaar op te tellen. Voor een concreet voorbeeld zou een functie met punten op x = 5 en x = 8 voorgesteld kunnen worden als δ (x - 5) + δ (x - 8). Als je dan een integraal van deze functie over alle getallen zou nemen, zou je een integraal dat krijgen vertegenwoordigt reële getallen, ook al zijn de functies 0 op alle locaties behalve de twee daar zijn punten. Dit concept kan vervolgens worden uitgebreid om een ruimte met twee of drie dimensies weer te geven (in plaats van het eendimensionale geval dat ik in mijn voorbeelden heb gebruikt).
Dit is weliswaar een korte introductie tot een zeer complex onderwerp. Het belangrijkste om te beseffen is dat de Dirac-deltafunctie in feite alleen bestaat om de integratie van de functie zinvol te maken. Wanneer er geen integraal plaatsvindt, is de aanwezigheid van de Dirac-deltafunctie niet bijzonder nuttig. Maar in de natuurkunde, als je te maken hebt met een regio zonder deeltjes die plotseling maar op één punt bestaat, is dat best nuttig.
Bron van de deltafunctie
In zijn boek uit 1930 Principes van de kwantummechanica, Engels theoretisch natuurkundige Paul Dirac de belangrijkste elementen van de kwantummechanica uiteengezet, waaronder de bra-ket-notatie en ook zijn Dirac-deltafunctie. Dit werden standaardconcepten op het gebied van de kwantummechanica binnen de Schrodinger-vergelijking.