Kansen voor het gooien van twee dobbelstenen

Een populaire manier om de kans te bestuderen is het gooien van dobbelstenen. Een standaard dobbelsteen heeft zes zijden bedrukt met kleine puntjes met nummer 1, 2, 3, 4, 5 en 6. Als de dobbelsteen eerlijk is (en dat zullen we doen uitgaan van dat ze allemaal zijn), dan is elk van deze uitkomsten even waarschijnlijk. Aangezien er zes mogelijke uitkomsten zijn, is de kans om een ​​kant van de dobbelsteen te verkrijgen 1/6. De kans om een ​​1 te rollen is 1/6, de kans om een ​​2 te rollen is 1/6, enzovoort. Maar wat gebeurt er als we nog een dobbelsteen toevoegen? Wat zijn de kansen om twee dobbelstenen te gooien?

Om de kans op een dobbelsteenworp correct te bepalen, moeten we twee dingen weten:

• De grootte van de voorbeeldruimte of de set van totaal mogelijke uitkomsten
• Hoe vaak een gebeurtenis plaatsvindt

In waarschijnlijkheid, een gebeurtenis is een bepaalde subset van de voorbeeldruimte. Als bijvoorbeeld slechts één dobbelsteen wordt geworpen, zoals in het bovenstaande voorbeeld, is de monsterruimte gelijk aan alle waarden op de dobbelsteen of de set (1, 2, 3, 4, 5, 6). Omdat de dobbelsteen eerlijk is, komt elk nummer in de set slechts één keer voor. Met andere woorden, de frequentie van elk nummer is 1. Om de kans te bepalen dat een van de getallen op de dobbelsteen wordt gegooid, delen we de gebeurtenisfrequentie (1) door de grootte van de monsterruimte (6), wat resulteert in een waarschijnlijkheid van 1/6.

Twee eerlijke dobbelstenen gooien verdubbelt de moeilijkheidsgraad van het berekenen van kansen meer dan. Dit komt omdat het gooien van een dobbelsteen onafhankelijk is van het rollen van een tweede. De ene rol heeft geen invloed op de andere. Bij het omgaan met onafhankelijke evenementen gebruiken we de vermenigvuldigingsregel. Het gebruik van een boomdiagram laat zien dat er 6 x 6 = 36 mogelijke resultaten zijn bij het gooien van twee dobbelstenen.

Stel dat de eerste dobbelsteen die we gooien als een 1 komt. De andere matrijsrol kan een 1, 2, 3, 4, 5 of 6 zijn. Stel nu dat de eerste dobbelsteen een 2 is. De andere matrijsrol kan weer een 1, 2, 3, 4, 5 of 6 zijn. We hebben al 12 mogelijke resultaten gevonden en hebben nog niet alle mogelijkheden van de eerste dobbelsteen uitgeput.

De mogelijke resultaten van het gooien van twee dobbelstenen worden weergegeven in de onderstaande tabel. Merk op dat het aantal totaal mogelijke uitkomsten gelijk is aan de steekproefruimte van de eerste dobbelsteen (6) vermenigvuldigd door de monsterruimte van de tweede matrijs (6), die 36 is.

Hetzelfde principe is van toepassing als we werken aan problemen met drie dobbelstenen. We vermenigvuldigen en zien dat er 6 x 6 x 6 = 216 mogelijke uitkomsten zijn. Omdat het lastig wordt om de herhaalde vermenigvuldiging te schrijven, kunnen we exponenten gebruiken om het werk te vereenvoudigen. Voor twee dobbelstenen zijn er zes² mogelijke uitkomsten. Voor drie dobbelstenen zijn er zes³ mogelijke uitkomsten. Over het algemeen, als we rollen n dobbelstenen, dan zijn er in totaal 6ⁿ mogelijke uitkomsten.

Met deze kennis kunnen we allerlei waarschijnlijkheidsproblemen oplossen:

1. Er worden twee zeszijdige dobbelstenen gegooid. Hoe groot is de kans dat de som van de twee dobbelstenen zeven is?

De eenvoudigste manier om dit probleem op te lossen, is door de bovenstaande tabel te raadplegen. U zult zien dat er in elke rij één dobbelsteenworp is waarbij de som van de twee dobbelstenen gelijk is aan zeven. Omdat er zes rijen zijn, zijn er zes mogelijke resultaten waarbij de som van de twee dobbelstenen gelijk is aan zeven. Het aantal totaal mogelijke uitkomsten blijft 36. Nogmaals, we vinden de waarschijnlijkheid door de gebeurtenisfrequentie (6) te delen door de grootte van de monsterruimte (36), wat resulteert in een waarschijnlijkheid van 1/6.

2. Er worden twee zeszijdige dobbelstenen gegooid. Wat is de kans dat de som van de twee dobbelstenen is drie?

In het vorige probleem is het je misschien opgevallen dat de cellen waar de som van de twee dobbelstenen gelijk is aan zeven een diagonaal vormen. Hetzelfde geldt hier, behalve in dit geval zijn er slechts twee cellen waar de som van de dobbelstenen drie is. Dat komt omdat er maar twee manieren zijn om deze uitkomst te krijgen. Je moet een 1 en een 2 gooien of je moet een 2 en een 1 gooien. De combinaties voor het gooien van een som van zeven zijn veel groter (1 en 6, 2 en 5, 3 en 4, enzovoort). Om de kans te vinden dat de som van de twee dobbelstenen drie is, kunnen we de gebeurtenisfrequentie (2) delen door de grootte van de steekproefruimte (36), wat resulteert in een kans van 1/18.

3. Er worden twee zeszijdige dobbelstenen gegooid. Wat is de kans dat de nummers op de dobbelstenen zijn anders?

Nogmaals, we kunnen dit probleem eenvoudig oplossen door de bovenstaande tabel te raadplegen. Je zult zien dat de cellen waar de cijfers op de dobbelstenen hetzelfde zijn een diagonaal vormen. Er zijn er maar zes, en als we ze eenmaal hebben doorgehaald, hebben we de resterende cellen waarin de cijfers op de dobbelstenen verschillen. We kunnen het aantal combinaties (30) nemen en dit delen door de grootte van de monsterruimte (36), wat resulteert in een waarschijnlijkheid van 5/6.