Vectorwiskunde: een eenvoudige maar uitgebreide introductie

Dit is een basis, maar hopelijk vrij uitgebreide introductie in het werken met vectoren. Vectoren manifesteren zich op een groot aantal verschillende manieren, van verplaatsing, snelheid en versnelling tot krachten en velden. Dit artikel is gewijd aan de wiskunde van vectoren; hun toepassing in specifieke situaties zal elders worden behandeld.

EEN vectorgrootheidof vector, geeft informatie over niet alleen de grootte, maar ook de richting van de hoeveelheid. Wanneer u een routebeschrijving naar een huis geeft, is het niet genoeg om te zeggen dat het 10 mijl afstand is, maar de richting van die 10 mijl moet ook worden verstrekt om de informatie nuttig te laten zijn. Variabelen die vectoren zijn, worden aangegeven met een vetgedrukte variabele, hoewel het gebruikelijk is om vectoren te zien die zijn aangegeven met kleine pijlen boven de variabele.

Net zoals we niet zeggen dat het andere huis op -10 mijl afstand ligt, is de grootte van een vector altijd een positief getal, of liever de absolute waarde van de "lengte" van de vector (hoewel de grootheid mag geen lengte zijn, het kan een snelheid, versnelling, kracht, etc. zijn) Een negatief vooraan een vector duidt niet op een verandering in de magnitude, maar in de richting van de vector.

In de bovenstaande voorbeelden is afstand de scalaire hoeveelheid (10 mijl) maar verplaatsing is de vectorhoeveelheid (10 mijl naar het noordoosten). Evenzo is snelheid een scalaire grootheid, terwijl snelheid een is vector aantal stuks.

EEN eenheid Vector is een vector met een magnitude van één. Een vector die een eenheidsvector vertegenwoordigt, is meestal ook vetgedrukt, hoewel deze een karaat heeft (^) erboven om het eenheidskarakter van de variabele aan te geven. De eenheidsvector X, wanneer geschreven met een karaat, wordt het over het algemeen gelezen als "x-hat" omdat de karaat lijkt op een hoed op de variabele.

De nul vectorof null vector, is een vector met een magnitude van nul. Het staat geschreven als 0 in dit artikel.

Vectoren zijn over het algemeen gericht op een coördinatensysteem, waarvan de meest populaire het tweedimensionale cartesiaanse vlak is. Het Cartesiaanse vlak heeft een horizontale as met het label x en een verticale as met het label y. Sommige geavanceerde toepassingen van vectoren in de natuurkunde vereisen het gebruik van een driedimensionale ruimte, waarin de assen x, y en z zijn. Dit artikel behandelt voornamelijk het tweedimensionale systeem, hoewel de concepten zonder enige moeite met enige zorg tot drie dimensies kunnen worden uitgebreid.

Vectoren in coördinatenstelsels met meerdere dimensies kunnen worden onderverdeeld in hun componentvectoren. In het tweedimensionale geval resulteert dit in een x-component en een y-component. Wanneer een vector in zijn componenten wordt onderverdeeld, is de vector een som van de componenten:

F = F_X + F_y

thetaF_XF_yF

F_X / F = cos theta en F_y / F = zonde thetawat ons geeft
F_X = F cos theta en F_y = F zonde theta

Merk op dat de getallen hier de grootte van de vectoren zijn. We kennen de richting van de componenten, maar we proberen hun magnitude te vinden, dus verwijderen we de richtingsinformatie en voeren we deze scalaire berekeningen uit om de magnitude te achterhalen. Verdere toepassing van trigonometrie kan worden gebruikt om andere relaties (zoals de tangens) te vinden die verband houden met sommige van deze grootheden, maar ik denk dat dat genoeg is voor nu.

Jarenlang is de enige wiskunde die een student leert, scalaire wiskunde. Als je 5 mijl naar het noorden en 5 mijl naar het oosten reist, heb je 10 mijl gereisd. Het toevoegen van scalaire hoeveelheden negeert alle informatie over de routebeschrijving.

Vectoren worden enigszins anders gemanipuleerd. Bij het manipuleren moet altijd rekening worden gehouden met de richting.

Wanneer u twee vectoren toevoegt, is het alsof u de vectoren hebt genomen en ze van begin tot eind hebt geplaatst en een nieuwe vector hebt gemaakt die loopt van het beginpunt tot het eindpunt. Als de vectoren dezelfde richting hebben, betekent dit alleen dat de grootheden worden opgeteld, maar als ze verschillende richtingen hebben, kan het complexer worden.

U voegt vectoren toe door ze in hun componenten op te splitsen en vervolgens de componenten toe te voegen, zoals hieronder:

een + b = c
een_X + een_y + b_X + b_y =
( een_X + b_X) + ( een_y + b_y) = c_X + c_y

De twee x-componenten resulteren in de x-component van de nieuwe variabele, terwijl de twee y-componenten resulteren in de y-component van de nieuwe variabele.

De volgorde waarin u de vectoren toevoegt, doet er niet toe. Verschillende eigenschappen van scalaire toevoeging gelden zelfs voor vectortoevoeging:

Identiteitseigenschap van vectortoevoeging
een + 0 = een
Omgekeerde eigenschap van vector-toevoeging
een + -een = een - een = 0
Reflecterende eigenschap van vector-toevoeging
een = een
Gemeenschappelijk eigendom van Vector Addition
een + b = b + een
Associatieve eigenschap van vector-toevoeging
(een + b) + c = een + (b + c)
Overgangseigenschap van vector-toevoeging
Als een = b en c = b, vervolgens een = c

De eenvoudigste bewerking die op een vector kan worden uitgevoerd, is deze te vermenigvuldigen met een scalair. Deze scalaire vermenigvuldiging verandert de grootte van de vector. Met andere woorden, het maakt de vector langer of korter.

Bij vermenigvuldiging met een negatieve scalair, zal de resulterende vector in de tegenovergestelde richting wijzen.

De scalair product van twee vectoren is een manier om ze samen te vermenigvuldigen om een ​​scalaire grootheid te verkrijgen. Dit wordt geschreven als een vermenigvuldiging van de twee vectoren, met een punt in het midden die de vermenigvuldiging vertegenwoordigt. Als zodanig wordt het vaak de punt product van twee vectoren.

Om het puntproduct van twee vectoren te berekenen, kijk je naar de hoek ertussen. Met andere woorden, als ze hetzelfde startpunt zouden delen, wat zou dan de hoekmeting zijn (theta) tussen hen. Het puntproduct wordt gedefinieerd als:

een * b = ab cos theta

ababba

In gevallen waarin de vectoren loodrecht staan ​​(of theta = 90 graden), cos theta zal nul zijn. Daarom het puntproduct van loodrechte vectoren is altijd nul. Wanneer de vectoren zijn parallel (of theta = 0 graden), cos theta is 1, dus het scalaire product is slechts het product van de grootte.

Deze handige kleine feiten kunnen worden gebruikt om te bewijzen dat, als u de componenten kent, u de behoefte aan theta volledig kunt elimineren met de (tweedimensionale) vergelijking:

een * b = een_X b_X + een_y b_y

De vector product is geschreven in het formulier een X b, en wordt meestal de kruisproduct van twee vectoren. In dit geval vermenigvuldigen we de vectoren en in plaats van een scalaire grootheid te krijgen, krijgen we een vectorgrootheid. Dit is de lastigste van de vectorberekeningen waarmee we te maken hebben, zoals het is niet commutatief en omvat het gebruik van de gevreesde rechterhand regel, waar ik binnenkort op terugkom.

Nogmaals, we beschouwen twee vectoren die vanuit hetzelfde punt zijn getekend, met de hoek theta tussen hen. We nemen altijd de kleinste hoek, dus theta zal altijd tussen 0 en 180 liggen en het resultaat zal daarom nooit negatief zijn. De grootte van de resulterende vector wordt als volgt bepaald:

Als c = een X b, vervolgens c = ab zonde theta

Het vectorproduct van parallelle (of antiparallelle) vectoren is altijd nul

Het vectorproduct staat loodrecht op het vlak dat is gemaakt op basis van deze twee vectoren. Als je je het vliegtuig voorstelt als plat op een tafel, wordt de vraag of de resulterende vector gaat omhoog (onze "uit" de tafel, vanuit ons perspectief) of naar beneden (of "in" de tafel, vanuit onze perspectief).

Om dit te achterhalen, moet u de zogenaamde de toepassen rechterhand regel. Toen ik natuurkunde op school studeerde, ik verafschuwd de rechterhandregel. Elke keer dat ik het gebruikte, moest ik het boek eruit halen om op te zoeken hoe het werkte. Hopelijk zal mijn beschrijving wat intuïtiever zijn dan degene die ik heb leren kennen.

Als je hebt een X b u plaatst uw rechterhand over de lengte van b zodat je vingers (behalve de duim) kunnen buigen om mee te wijzen een. Met andere woorden, je probeert de hoek te maken theta tussen de palm en vier vingers van je rechterhand. De duim steekt in dit geval recht omhoog (of uit het scherm, als je het op de computer probeert te doen). Je knokkels staan ​​ongeveer op één lijn met het startpunt van de twee vectoren. Precisie is niet essentieel, maar ik wil dat u het idee begrijpt, omdat ik hier geen beeld van heb.

Als u echter overweegt b X een, doet u het tegenovergestelde. Je steekt je rechterhand mee een en wijs met je vingers b. Als je dit op het computerscherm probeert te doen, zul je het onmogelijk vinden, dus gebruik je fantasie. Je zult zien dat in dit geval je fantasierijke duim naar het computerscherm wijst. Dat is de richting van de resulterende vector.

De rechterregel toont de volgende relatie:

een X b = - b X een

cabc

c_X = een_y b_z - een_z b_y
c_y = een_z b_X - een_X b_z
c_z = een_X b_y - een_y b_X

abc_Xc_yc

Op hogere niveaus kunnen vectoren uiterst complex worden om mee te werken. Gehele cursussen op de universiteit, zoals lineaire algebra, besteden veel tijd aan matrices (die ik in deze inleiding vriendelijk heb vermeden), vectoren en vectorruimten. Dat detailniveau valt buiten het bestek van dit artikel, maar dit zou de basis moeten bieden die nodig is voor de meeste vectormanipulatie die wordt uitgevoerd in het natuurkundeklaslokaal. Als je van plan bent de natuurkunde verder te bestuderen, maak je tijdens je opleiding kennis met de meer complexe vectorconcepten.