De betekenis van wederzijds exclusief in statistieken

Waarschijnlijk twee evenementen zouden elkaar wederzijds uitsluiten als en alleen als de gebeurtenissen hebben geen gedeelde resultaten. Als we de gebeurtenissen als sets beschouwen, zouden we zeggen dat twee gebeurtenissen elkaar uitsluiten wanneer hun kruising de is lege set. We zouden die gebeurtenissen kunnen aanduiden EEN en B sluiten elkaar uit door de formule EEN ∩ B = Ø. Zoals bij veel concepten uit waarschijnlijkheid, zullen enkele voorbeelden helpen om deze definitie te begrijpen.

Stel dat we gooi twee zeszijdige dobbelstenen en voeg het aantal punten toe dat bovenop de dobbelstenen wordt weergegeven. De gebeurtenis bestaande uit "de som is even" sluit elkaar wederzijds uit van de gebeurtenis "de som is oneven". De reden hiervoor is dat het onmogelijk is dat een getal even en oneven is.

Nu gaan we hetzelfde waarschijnlijkheidsexperiment uitvoeren door twee dobbelstenen te gooien en de getallen bij elkaar op te tellen. Deze keer beschouwen we de gebeurtenis bestaande uit een oneven som en de gebeurtenis bestaande uit een som groter dan negen. Deze twee evenementen sluiten elkaar niet uit.

De reden waarom is duidelijk wanneer we de resultaten van de gebeurtenissen onderzoeken. Het eerste evenement heeft uitkomsten van 3, 5, 7, 9 en 11. Het tweede evenement heeft uitkomsten van 10, 11 en 12. Aangezien 11 in beide zit, sluiten de evenementen elkaar niet uit.

We illustreren verder met een ander voorbeeld. Stel dat we een kaart trekken uit een standaard kaartspel van 52 kaarten. Een hart tekenen sluit elkaar niet uit voor het tekenen van een koning. Dit komt omdat er een kaart (de hartenheer) is die in beide evenementen verschijnt.

Er zijn momenten waarop het erg belangrijk is om te bepalen of twee gebeurtenissen elkaar uitsluiten of niet. Weten of twee gebeurtenissen elkaar uitsluiten, beïnvloedt de berekening van de waarschijnlijkheid dat de ene of de andere optreedt.

Ga terug naar het kaartvoorbeeld. Als we één kaart trekken uit een standaard kaartspel van 52 kaarten, hoe groot is dan de kans dat we een hart of een koning hebben getrokken?

Verdeel dit eerst in individuele gebeurtenissen. Om de kans te vinden dat we een hart hebben getrokken, tellen we eerst het aantal harten in het spel als 13 en delen we het door het totale aantal kaarten. Dit betekent dat de kans op een hart 13/52 is.

Om de kans te vinden dat we een koning hebben getrokken, tellen we eerst het totale aantal koningen, resulterend in vier, en delen we vervolgens door het totale aantal kaarten, dat is 52. De kans dat we een koning hebben getrokken is 4/52.

Het probleem is nu om de kans te vinden om een ​​koning of een hart te tekenen. Hier moeten we voorzichtig zijn. Het is heel verleidelijk om eenvoudig de waarschijnlijkheden van 13/52 en 4/52 bij elkaar op te tellen. Dit zou niet correct zijn omdat de twee evenementen elkaar niet uitsluiten. De hartenkoning is in deze kansen tweemaal meegeteld. Om de dubbeltelling tegen te gaan, moeten we de kans op het trekken van een koning en een hart aftrekken, namelijk 1/52. Daarom is de kans dat we een koning of een hart hebben getrokken 16/52.

Een formule die bekend staat als de toevoeging regel geeft een alternatieve manier om een ​​probleem als het bovenstaande op te lossen. De optelregel verwijst eigenlijk naar een aantal formules die nauw met elkaar verwant zijn. We moeten weten of onze evenementen elkaar uitsluiten om te weten welke optelformule geschikt is om te gebruiken.