Bij de binominale verdeling gaat het om een discreet willekeurige variabele. Kansen in een binominale setting kan eenvoudig worden berekend met behulp van de formule voor een binominale coëfficiënt. Hoewel dit in theorie een gemakkelijke berekening is, kan het in de praktijk behoorlijk vervelend of zelfs computationeel onmogelijk worden binomiale kansen berekenen. Deze problemen kunnen worden omzeild door in plaats daarvan een te gebruiken normale verdelingom een binominale verdeling te benaderen. We zullen zien hoe we dit kunnen doen door de stappen van een berekening te doorlopen.
Stappen voor het gebruik van de normale benadering
Eerst moeten we bepalen of het passend is om de normale benadering te gebruiken. Niet alle binominale distributie is hetzelfde. Sommigen vertonen genoeg scheefheid dat we geen normale benadering kunnen gebruiken. Om te controleren of de normale benadering moet worden gebruikt, moeten we kijken naar de waarde van p, wat de kans op succes is, en n, dat is het aantal waarnemingen van onze binominale variabele.
Om de normale benadering te gebruiken, beschouwen we beide np en n( 1 - p ). Als beide getallen groter zijn dan of gelijk zijn aan 10, dan zijn we gerechtvaardigd om de normale benadering te gebruiken. Dit is een algemene vuistregel en doorgaans zijn de waarden groter np en n( 1 - p ), hoe beter is de benadering.
Vergelijking tussen binomiaal en normaal
We zullen een exacte binominale waarschijnlijkheid vergelijken met die verkregen door een normale benadering. We beschouwen het gooien van 20 munten en willen de waarschijnlijkheid weten dat vijf munten of minder hoofden waren. Als X is het aantal koppen, dan willen we de waarde vinden:
P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3) + P (X = 4) + P (X = 5).
De gebruik van de binominale formule voor elk van deze zes kansen laat ons zien dat de kans 2,0695% is. We zullen nu zien hoe dicht onze normale benadering bij deze waarde zal zijn.
Als we de voorwaarden controleren, zien we dat beide np en np(1 - p) zijn gelijk aan 10. Dit laat zien dat we in dit geval de normale benadering kunnen gebruiken. We zullen een normale verdeling gebruiken met een gemiddelde van np = 20 (0,5) = 10 en een standaarddeviatie van (20 (0,5) (0,5))0.5 = 2.236.
Om de kans te bepalen dat X is kleiner dan of gelijk aan 5 we moeten de vinden z-score voor 5 in de normale distributie die we gebruiken. Dus z = (5 – 10)/2.236 = -2.236. Door een tabel te raadplegen z-scores zien we dat de kans dat z is kleiner dan of gelijk aan -2,236 is 1,267%. Dit wijkt af van de werkelijke kans maar ligt binnen 0,8%.
Continuïteitscorrectiefactor
Om onze schatting te verbeteren, is het passend om een continuïteitscorrectiefactor in te voeren. Dit wordt gebruikt omdat a normale verdeling is continu terwijl de binominale distributie is discreet. Voor een binominale willekeurige variabele een kanshistogram voor X = 5 bevat een balk van 4,5 tot 5,5 en is gecentreerd op 5.
Dit betekent dat voor het bovenstaande voorbeeld de waarschijnlijkheid dat X is kleiner dan of gelijk aan 5 voor een binominale variabele moet worden geschat met de waarschijnlijkheid dat X is kleiner dan of gelijk aan 5,5 voor een continue normale variabele. Dus z = (5.5 – 10)/2.236 = -2.013. De kans dat z