Het woord eenheid heeft veel betekenissen in de Engelse taal, maar is misschien het best bekend om zijn meest eenvoudige en rechtlijnige definitie, namelijk 'de staat van één zijn'; eenheid. "Hoewel het woord zijn eigen unieke betekenis heeft op het gebied van wiskunde, dwaalt het unieke gebruik niet al te symbolisch af van deze definitie. In feite in wiskunde, eenheid is gewoon een synoniem voor het getal "één" (1), het gehele getal tussen de gehele getallen nul (0) en twee (2).
De nummer één (1) vertegenwoordigt een enkele entiteit en het is onze rekeneenheid. Het is het eerste niet-nulgetal van onze natuurlijke getallen, dat zijn de getallen die worden gebruikt voor tellen en ordenen, en het eerste van onze positieve gehele getallen of hele getallen. Het nummer 1 is ook het eerste oneven nummer van de natuurlijke nummers.
De nummer één (1) heeft eigenlijk verschillende namen, eenheid is er slechts een van. Het nummer 1 staat ook bekend als eenheid, identiteit en multiplicatieve identiteit.
Eenheid als identiteitselement
Eenheid, of de nummer één, vertegenwoordigt ook een identiteitselement, dat wil zeggen dat in combinatie met een ander nummer in een bepaalde wiskundige bewerking, het nummer gecombineerd met de identiteit ongewijzigd blijft. Bij toevoeging van reële getallen is nul (0) bijvoorbeeld een identiteitselement, aangezien elk getal dat aan nul wordt toegevoegd, ongewijzigd blijft (bijvoorbeeld a + 0 = a en 0 + a = a). Eenheid, of één, is ook een identiteitselement wanneer toegepast op numerieke vermenigvuldigingsvergelijkingen als welke dan ook echt nummer vermenigvuldigd met eenheid blijft ongewijzigd (bijv. a x 1 = a en 1 x a = a). Vanwege dit unieke kenmerk van eenheid wordt de multiplicatieve identiteit genoemd.
Identiteitselementen zijn altijd van henzelf faculteit, dat wil zeggen dat het product van alle positieve gehele getallen kleiner dan of gelijk aan eenheid (1) eenheid (1) is. Identiteitselementen zoals eenheid zijn ook altijd hun eigen vierkant, kubus, enzovoort. Dat wil zeggen dat eenheid in het kwadraat (1 ^ 2) of in blokjes (1 ^ 3) gelijk is aan eenheid (1).
De betekenis van "Root of Unity"
De wortel van eenheid verwijst naar de staat waarin voor elk geheel getal n, de nde wortel van een getal k is een getal dat, wanneer het met zichzelf wordt vermenigvuldigd n keer, geeft het aantal k. Een wortel van eenheid in, simpel gezegd, elk getal dat, wanneer het met zichzelf vermenigvuldigd wordt, altijd gelijk is aan 1. Daarom een nDe wortel van eenheid is elk getal k die voldoet aan de volgende vergelijking:
k ^ n = 1 (k naar de nde macht is gelijk aan 1), waar n is een positief geheel getal.
Wortels van eenheid worden ook wel de Moivre-getallen genoemd, naar de Franse wiskundige Abraham de Moivre. Wortels van eenheid worden traditioneel gebruikt in takken van de wiskunde zoals de getaltheorie.
Bij het beschouwen van reële getallen zijn de enige twee die passen bij deze definitie van eenheidswortels de getallen één (1) en negatieve (-1). Maar het concept van de wortel van eenheid verschijnt over het algemeen niet binnen zo'n eenvoudige context. In plaats daarvan wordt de wortel van eenheid een onderwerp voor wiskundige discussie bij het omgaan met complexe getallen, dat zijn die getallen die in de vorm kunnen worden uitgedrukt een + bi, waar een en b zijn echte cijfers en ik is de vierkantswortel van negatief één (-1) of een denkbeeldig getal. In feite het nummer ik is zelf ook een wortel van eenheid.