Bij het maken van een meting, a wetenschapper kan slechts een bepaald niveau van precisie bereiken, hetzij beperkt door de gebruikte instrumenten, hetzij door de fysieke aard van de situatie. Het meest voor de hand liggende voorbeeld is het meten van afstand.
Overweeg wat er gebeurt bij het meten van de afstand die een object heeft verplaatst met een meetlint (in metrische eenheden). Het meetlint is waarschijnlijk opgesplitst in de kleinste eenheden van millimeters. Daarom is er geen manier om te meten met een precisie groter dan een millimeter. Als het object 57.215493 millimeter beweegt, kunnen we daarom alleen maar zeker weten dat het 57 millimeter (of 5,7 centimeter of 0,057 meter heeft verplaatst, afhankelijk van de voorkeur in die situatie).
Over het algemeen is dit afrondingsniveau prima. De precieze beweging van een object van normale grootte terugbrengen tot a millimeter zou eigenlijk een behoorlijk indrukwekkende prestatie zijn. Stel je voor dat je de beweging van een auto tot op de millimeter probeert te meten, en je zult zien dat dit in het algemeen niet nodig is. In de gevallen waarin dergelijke precisie nodig is, gebruikt u tools die veel geavanceerder zijn dan een meetlint.
Het aantal betekenisvolle getallen in een meting wordt het aantal genoemd significante cijfers van het nummer. In het eerdere voorbeeld zou het antwoord van 57 millimeter ons 2 significante cijfers geven in onze meting.
Nullen en significante cijfers
Beschouw het nummer 5.200.
Tenzij anders aangegeven, is het over het algemeen gebruikelijk om aan te nemen dat alleen de twee niet-nul cijfers significant zijn. Met andere woorden, er wordt aangenomen dat dit aantal was afgerond tot de dichtstbijzijnde honderd.
Als het nummer echter wordt geschreven als 5.200.0, dan zou het vijf significante cijfers hebben. Het decimaalteken en de daaropvolgende nul worden alleen toegevoegd als de meting is precies op dat niveau.
Evenzo zou het getal 2.30 drie significante cijfers hebben, omdat de nul aan het einde een indicatie is dat de wetenschapper die de meting deed, op dat precisieniveau deed.
Sommige studieboeken hebben ook de conventie geïntroduceerd dat een decimale punt aan het einde van een geheel getal ook significante cijfers aangeeft. Dus 800. zou drie significante cijfers hebben, terwijl 800 slechts één significant cijfer heeft. Nogmaals, dit is enigszins variabel, afhankelijk van het leerboek.
Hier volgen enkele voorbeelden van verschillende aantallen significante cijfers om het concept te helpen stollen:
Een belangrijk cijfer
4
900
0.00002
Twee significante cijfers
3.7
0.0059
68,000
5.0
Drie significante cijfers
9.64
0.00360
99,900
8.00
900. (in sommige leerboeken)
Wiskunde met significante cijfers
Wetenschappelijke cijfers bieden een aantal andere regels voor wiskunde dan waar u aan wordt voorgesteld in uw wiskundeles. De sleutel bij het gebruik van significante cijfers is om er zeker van te zijn dat u tijdens de berekening hetzelfde niveau van precisie behoudt. In de wiskunde bewaar je alle getallen uit je resultaat, terwijl je in wetenschappelijk werk vaak rondt op basis van de significante cijfers.
Bij het optellen of aftrekken van wetenschappelijke gegevens is alleen het laatste cijfer (het cijfer het meest rechts) van belang. Laten we bijvoorbeeld aannemen dat we drie verschillende afstanden toevoegen:
5.324 + 6.8459834 + 3.1
De eerste term in het optelprobleem heeft vier significante cijfers, de tweede heeft er acht en de derde heeft er maar twee. De precisie wordt in dit geval bepaald door de kortste decimale punt. Dus u zult uw berekening uitvoeren, maar in plaats van 15.2699834 zal het resultaat 15,3 zijn, omdat je rondt af naar de tiende plaats (de eerste plaats na de komma), want terwijl twee van uw metingen zijn preciezer, de derde kan je niets meer vertellen dan de tiende plaats, dus het resultaat van dit toevoegingprobleem kan alleen zo precies zijn.
Merk op dat uw laatste antwoord, in dit geval, drie significante cijfers heeft, terwijl geen van je startnummers wel. Dit kan voor beginners erg verwarrend zijn en het is belangrijk om aandacht te besteden aan die eigenschap van optellen en aftrekken.
Bij het vermenigvuldigen of delen van wetenschappelijke gegevens is daarentegen het aantal significante cijfers van belang. Het vermenigvuldigen van significante cijfers zal altijd resulteren in een oplossing die dezelfde significante cijfers heeft als de kleinste significante cijfers waarmee u bent begonnen. Dus naar het voorbeeld:
5.638 x 3.1
De eerste factor heeft vier significante cijfers en de tweede factor heeft twee significante cijfers. Uw oplossing zal daarom eindigen met twee significante cijfers. In dit geval zal het 17 zijn in plaats van 17.4778. U voert de berekening uit vervolgens rond uw oplossing af op het juiste aantal significante cijfers. De extra precisie in de vermenigvuldiging doet geen pijn, u wilt gewoon geen valse nauwkeurigheid geven in uw uiteindelijke oplossing.
Wetenschappelijke notatie gebruiken
De natuurkunde heeft betrekking op rijken van de grootte van minder dan een proton tot de grootte van het heelal. Als zodanig krijg je te maken met een aantal zeer grote en zeer kleine aantallen. Over het algemeen zijn alleen de eerste paar van deze cijfers significant. Niemand gaat (of kan) de breedte van het universum tot op de millimeter nauwkeurig meten.
Notitie
Dit deel van het artikel gaat over het manipuleren van exponentiële getallen (d.w.z. 105, 10-8, enz.) En er wordt aangenomen dat de lezer deze wiskundige concepten begrijpt. Hoewel het onderwerp voor veel studenten lastig kan zijn, valt dit buiten het bestek van dit artikel.
Om deze cijfers gemakkelijk te manipuleren, gebruiken wetenschappers wetenschappelijke notatie. De significante cijfers worden vermeld en vervolgens vermenigvuldigd met tien tot het benodigde vermogen. De lichtsnelheid wordt geschreven als: [zwartquote schaduw = nee] 2.997925 x 108 m / s
Er zijn 7 significante cijfers en dit is veel beter dan het schrijven van 299.792.500 m / s.
Notitie
De lichtsnelheid wordt vaak geschreven als 3,00 x 108 m / s, in welk geval er slechts drie significante cijfers zijn. Nogmaals, dit is een kwestie van welk niveau van precisie nodig is.
Deze notatie is erg handig voor vermenigvuldiging. U volgt de eerder beschreven regels voor het vermenigvuldigen van de significante getallen, waarbij u de kleinste behoudt aantal significante cijfers, en dan vermenigvuldig je de grootten, die de additieve regel van volgt exponenten. Het volgende voorbeeld zou u moeten helpen het te visualiseren:
2,3 x 103 x 3,19 x 104 = 7,3 x 107
Het product heeft slechts twee significante cijfers en de grootteorde is 107 omdat 103 x 104 = 107
Het toevoegen van wetenschappelijke notatie kan, afhankelijk van de situatie, heel gemakkelijk of heel lastig zijn. Als de termen van dezelfde grootteorde zijn (d.w.z. 4,3005 x 105 en 13,5 x 105), volgt u de besproken optelregels eerder, de hoogste plaatswaarde behouden als uw afrondingslocatie en de magnitude hetzelfde houden, zoals in het volgende voorbeeld:
4,3005 x 105 + 13,5 x 105 = 17,8 x 105
Als de grootteorde echter anders is, moet je een beetje werken om de grootte hetzelfde te krijgen, zoals in het volgende voorbeeld, waarbij de ene term de grootte van 105 heeft en de andere term de grootte van 106:
4,8 x 105 + 9,2 x 106 = 4,8 x 105 + 92 x 105 = 97 x 105
of
4,8 x 105 + 9,2 x 106 = 0,48 x 106 + 9,2 x 106 = 9,7 x 106
Beide oplossingen zijn hetzelfde, wat resulteert in 9.700.000 als antwoord.
Evenzo worden ook zeer kleine getallen vaak in wetenschappelijke notatie geschreven, hoewel met een negatieve exponent op de magnitude in plaats van de positieve exponent. De massa van een elektron is:
9.10939 x 10-31 kg
Dit zou een nul zijn, gevolgd door een decimaal punt, gevolgd door 30 nullen en vervolgens de reeks van 6 significante cijfers. Niemand wil dat opschrijven, dus wetenschappelijke notatie is onze vriend. Alle hierboven geschetste regels zijn hetzelfde, ongeacht of de exponent positief of negatief is.
De limieten van significante cijfers
Significante cijfers zijn een basismiddel dat wetenschappers gebruiken om een nauwkeurige maat te geven voor de cijfers die ze gebruiken. Het betrokken afrondingsproces introduceert nog steeds een foutmaat in de cijfers, en bij berekeningen op zeer hoog niveau zijn er andere statistische methoden die worden gebruikt. Voor vrijwel alle natuurkunde die in de klaslokalen van de middelbare school en de universiteit wordt gedaan, een correct gebruik van significante cijfers is echter voldoende om het vereiste niveau van precisie.
Laatste opmerkingen
Significante cijfers kunnen een belangrijk struikelblok zijn wanneer ze voor het eerst aan studenten worden voorgesteld, omdat het enkele van de wiskundige basisregels verandert die ze jarenlang hebben geleerd. Met significante cijfers, bijvoorbeeld 4 x 12 = 50.
Evenzo kan de introductie van wetenschappelijke notatie bij studenten die zich niet helemaal op hun gemak voelen met exponenten of exponentiële regels, ook problemen veroorzaken. Houd er rekening mee dat dit hulpmiddelen zijn die iedereen die wetenschap studeert op een bepaald moment moest leren, en de regels zijn eigenlijk erg basaal. Het probleem is bijna volledig te onthouden welke regel op welk moment wordt toegepast. Wanneer voeg ik exponenten toe en wanneer trek ik ze af? Wanneer verplaats ik de komma naar links en wanneer naar rechts? Als je deze taken blijft oefenen, word je er beter in totdat ze een tweede natuur worden.
Ten slotte kan het lastig zijn om de juiste eenheden te onderhouden. Onthoud dat je centimeters en niet direct kunt optellen meterbijvoorbeeld, maar moet ze eerst omzetten in dezelfde schaal. Dit is een veelgemaakte fout voor beginners, maar net als de rest is het iets dat heel gemakkelijk kan worden overwonnen door te vertragen, voorzichtig te zijn en na te denken over wat je doet.