Een type probleem dat typisch is voor een inleidende cursus statistiek is het vinden van de z-score voor een bepaalde waarde van een normaal verdeelde variabele. Nadat we de reden hiervoor hebben gegeven, zullen we verschillende voorbeelden zien van het uitvoeren van dit type berekening.
Reden voor Z-scores
Er zijn oneindig veel normale distributies. Er is een single standaard normale verdeling. Het doel van het berekenen van een z - score is om een bepaalde normale verdeling te relateren aan de standaard normale verdeling. De standaard normale verdeling is goed bestudeerd en er zijn tabellen met gebieden onder de curve, die we vervolgens kunnen gebruiken voor toepassingen.
Door dit universele gebruik van de standaard normale verdeling, wordt het de moeite waard om een normale variabele te standaardiseren. Alles wat deze z-score betekent, is het aantal standaarddeviaties dat we verwijderd zijn van het gemiddelde van onze distributie.
Formule
De formule die we zullen gebruiken is als volgt: z = (X - μ)/ σ
De beschrijving van elk onderdeel van de formule is:
- X is de waarde van onze variabele
- μ is de waarde van ons populatiegemiddelde.
- σ is de waarde van de standaarddeviatie van de populatie.
- z is de z-score.
Voorbeelden
Nu zullen we verschillende voorbeelden bekijken die het gebruik van de illustreren z-score formule. Stel dat we op de hoogte zijn van een populatie van een bepaald kattenras met gewichten die normaal verdeeld zijn. Stel dat we weten dat het gemiddelde van de verdeling 10 pond is en de standaarddeviatie 2 pond. Overweeg de volgende vragen:
- Wat is de z-score voor 13 pond?
- Wat is de z-score voor 6 pond?
- Hoeveel pond komt overeen met a z-score van 1,25?
Voor de eerste vraag sluiten we gewoon aan X = 13 in onze z-score formule. Het resultaat is:
(13 – 10)/2 = 1.5
Dit betekent dat 13 anderhalve standaarddeviatie boven het gemiddelde ligt.
De tweede vraag is vergelijkbaar. Gewoon aansluiten X = 6 in onze formule. Het resultaat hiervoor is:
(6 – 10)/2 = -2
De interpretatie hiervan is dat 6 twee standaarddeviaties onder het gemiddelde ligt.
Voor de laatste vraag kennen we nu onze z -score. Voor dit probleem pluggen we in z = 1,25 in de formule en gebruik algebra om op te lossen X:
1.25 = (X – 10)/2
Vermenigvuldig beide kanten met 2:
2.5 = (X – 10)
Voeg 10 toe aan beide kanten:
12.5 = X
En dus zien we dat 12,5 pond overeenkomt met a z-score van 1,25.