Een inleiding tot wachtrijtheorie

Wachtrijtheorie is de wiskundige studie van wachtrijen of wachten in rijen. Wachtrijen bevatten klanten (of "items") zoals mensen, objecten of informatie. Wachtrijen worden gevormd wanneer er beperkte middelen zijn om een onderhoud. Als er bijvoorbeeld 5 kassa's in een supermarkt zijn, zullen er wachtrijen ontstaan ​​als meer dan 5 klanten tegelijkertijd voor hun artikelen willen betalen.

Een basis wachtrijsysteem bestaat uit een aankomstproces (hoe klanten aankomen in de wachtrij, hoeveel klanten aanwezig zijn) totaal), de wachtrij zelf, het serviceproces voor het bijwonen van die klanten en afwijkingen van de systeem.

Wiskundig wachtrijmodellen worden vaak gebruikt in software en bedrijven om de beste manier te bepalen om beperkte middelen te gebruiken. Wachtrijmodellen kunnen vragen beantwoorden zoals: Hoe groot is de kans dat een klant 10 minuten in de rij wacht? Wat is de gemiddelde wachttijd per klant?

De volgende situaties zijn voorbeelden van hoe wachtlijntheorie kan worden toegepast:

• Wachten in de rij bij een bank of een winkel
• Wachten tot een medewerker van de klantenservice een oproep beantwoordt nadat de oproep in de wacht is gezet
• Wachten op een trein
• Wachten tot een computer een taak uitvoert of reageert
• Wachten op een automatische wasstraat om een ​​rij auto's schoon te maken

Wachtrijmodellen analyseren hoe klanten (inclusief mensen, objecten en informatie) een service ontvangen. Een wachtrijsysteem bevat:

• Aankomstproces. Het aankomstproces is gewoon hoe klanten aankomen. Ze kunnen alleen of in groepen in de rij staan ​​en ze kunnen met bepaalde tussenpozen of willekeurig aankomen.
• Gedrag. Hoe gedragen klanten zich als ze in de rij staan? Sommigen zijn misschien bereid te wachten op hun plaats in de rij; anderen kunnen ongeduldig worden en vertrekken. Weer anderen kunnen besluiten later weer in de wachtrij te gaan staan, bijvoorbeeld wanneer ze in de wacht worden gezet bij de klantenservice en besluiten terug te bellen in de hoop snellere service te krijgen.
• Hoe klanten worden bediend. Dit omvat de tijdsduur dat een klant wordt bediend, het aantal beschikbare servers om de klanten te helpen, of klanten één voor één of in batches worden bediend, en de volgorde waarin klanten worden bediend, ook wel genoemd service discipline.
• Service discipline verwijst naar de regel waarmee de volgende klant wordt geselecteerd. Hoewel veel scenario's voor de detailhandel de "wie het eerst komt, het eerst maalt" -regel gebruiken, kunnen andere situaties andere vormen van dienstverlening vereisen. Klanten kunnen bijvoorbeeld worden bediend in volgorde van prioriteit of op basis van het aantal items dat ze moeten onderhouden (zoals in een snelrijbaan in een supermarkt). Soms wordt de laatst aangekomen klant als eerste bediend (zoals in het geval van een stapel vuile vaat, waarbij de bovenste als eerste wordt gewassen).
• Wachtkamer. Het aantal klanten dat in de wachtrij mag wachten, kan beperkt zijn op basis van de beschikbare ruimte.

Kendall's notatie is een verkorte notatie die de parameters van een basiswachtrijmodel specificeert. Kendall's notatie is geschreven in de vorm A / S / c / B / N / D, waarbij elk van de letters staat voor verschillende parameters.

• De A-term beschrijft wanneer klanten in de rij aankomen - in het bijzonder de tijd tussen aankomsten, of interaankomst tijden. Wiskundig specificeert deze parameter de kansverdeling dat de aankomsttijden volgen. Een veel voorkomende kansverdeling die wordt gebruikt voor de A-term is de Poisson-verdeling.
• De S-term beschrijft hoe lang het duurt voordat een klant wordt bediend nadat deze de wachtrij heeft verlaten. Wiskundig specificeert deze parameter de kansverdeling dat deze service tijden volgen. De Poisson-verdeling wordt ook vaak gebruikt voor de S-term.
• De c-term specificeert het aantal servers in het wachtrijsysteem. Het model gaat ervan uit dat alle servers in het systeem identiek zijn, dus ze kunnen allemaal worden beschreven door de S-term hierboven.
• De B-term geeft het totale aantal items aan dat in het systeem kan voorkomen, en omvat items die nog in de wachtrij staan ​​en die worden onderhouden. Hoewel veel systemen in de echte wereld een beperkte capaciteit hebben, is het model gemakkelijker te analyseren als deze capaciteit als oneindig wordt beschouwd. Als daarom de capaciteit van een systeem groot genoeg is, wordt algemeen aangenomen dat het systeem oneindig is.
• De N-term specificeert het totale aantal potentiële klanten - d.w.z. het aantal klanten dat ooit in het wachtrijsysteem zou kunnen komen - dat als eindig of oneindig kan worden beschouwd.
• De D-term specificeert de servicediscipline van het wachtrijsysteem, zoals wie het eerst komt, het eerst maalt of het laatst in, eerst uit.

De wet van Little, wat voor het eerst werd bewezen door wiskundige John Little, stelt dat het gemiddelde aantal items in een wachtrij kan zijn berekend door de gemiddelde snelheid waarmee de items in het systeem aankomen te vermenigvuldigen met de gemiddelde tijd dat ze er zijn besteed eraan.

• In wiskundige notatie is de wet van Little: L = λW
• L is het gemiddelde aantal items, λ is de gemiddelde aankomstsnelheid van de items in het wachtrijsysteem en W is de gemiddelde hoeveelheid tijd die de items in het wachtrijsysteem doorbrengen.
• De wet van Little gaat ervan uit dat het systeem zich in een 'stabiele toestand' bevindt - de wiskundige variabelen die het systeem kenmerken, veranderen niet in de loop van de tijd.

Hoewel de wet van Little slechts drie inputs nodig heeft, is deze vrij algemeen en kan op velen worden toegepast wachtrijsystemen, ongeacht de soorten items in de wachtrij of de manier waarop items in de wachtrij worden verwerkt wachtrij. De wet van Little kan nuttig zijn om te analyseren hoe een wachtrij in de loop van de tijd heeft gepresteerd of om snel te meten hoe een wachtrij momenteel presteert.

Een voorbeeld: een schoenendoosbedrijf wil het gemiddelde aantal schoenendozen berekenen dat in een magazijn is opgeslagen. Het bedrijf weet dat de gemiddelde aankomstsnelheid van de dozen in het magazijn 1.000 schoenendozen / jaar is en dat de gemiddelde tijd die ze in het magazijn doorbrengen ongeveer 3 maanden of ¼ jaar is. Het gemiddelde aantal schoenendozen in het magazijn wordt dus gegeven door (1000 schoenendozen / jaar) x (¼ jaar) of 250 schoenendozen.

• Wachtrijtheorie is de wiskundige studie van wachtrijen of wachten in rijen.
• Wachtrijen bevatten 'klanten', zoals mensen, objecten of informatie. Wachtrijen ontstaan ​​wanneer er beperkte middelen zijn om een ​​dienst te verlenen.
• Wachtrijtheorie kan worden toegepast op situaties variërend van in de rij wachten in de supermarkt tot wachten op een computer om een ​​taak uit te voeren. Het wordt vaak gebruikt in software en bedrijfsapplicaties om de beste manier te bepalen om beperkte middelen te gebruiken.
• Kendall's notatie kan worden gebruikt om de parameters van een wachtrijsysteem te specificeren.
• De wet van Little is een eenvoudige maar algemene uitdrukking die een snelle schatting kan geven van het gemiddelde aantal items in een wachtrij.

• Beasley, J. E. "Wachtrijtheorie."
• Boxma, O. J. "Stochastische prestatiemodellering." 2008.
• Lilja, D. Het meten van computerprestaties: een handleiding voor beoefenaars, 2005.
• Little, J., en Graves, S. "Hoofdstuk 5: de wet van Little." In Intuïtie opbouwen: inzichten uit basismodellen en principes voor operationeel beheer. Springer Science + Business Media, 2008.
• Mulholland, B. "De wet van Little: hoe u uw processen kunt analyseren (met stealth-bommenwerpers)."Process.st, 2017.