Wat is Kurtosis in statistieken?

Verdelingen van gegevens en kansverdelingen hebben niet allemaal dezelfde vorm. Sommige zijn asymmetrisch en scheef naar links of naar rechts. Andere distributies zijn bimodaal en hebben twee pieken. Een ander kenmerk om te overwegen bij het praten over een verdeling is de vorm van de staarten van de verdeling uiterst links en uiterst rechts. Kurtosis is de maat voor de dikte of zwaarte van de staarten van een verdeling. De kurtosis van een distributie valt in een van de drie categorieën van classificatie:

• Mesokurtic
• Leptokurtic
• Platykurtic

We zullen elk van deze classificaties om beurten bekijken. Ons onderzoek van deze categorieën zal niet zo nauwkeurig zijn als we zouden kunnen zijn als we de technisch-wiskundige definitie van kurtosis zouden gebruiken.

Kurtosis wordt meestal gemeten met betrekking tot de normale verdeling. Een verdeling met staarten die ongeveer dezelfde vorm hebben als elke normale verdeling, niet alleen de standaard normale verdeling, wordt mesokurtic genoemd. De kurtosis van een mesokurtische distributie is niet hoog of laag, maar wordt eerder beschouwd als een basislijn voor de twee andere classificaties.

Trouwens normale distributies, binominale distributies waarvoor p is bijna 1/2 wordt beschouwd als mesokurtic.

Een leptokurtische distributie is er een met kurtosis die groter is dan een mesokurtische distributie. Leptokurtische distributies worden soms geïdentificeerd door pieken die dun en lang zijn. De staarten van deze verdelingen, zowel naar rechts als naar links, zijn dik en zwaar. Leptokurtische distributies worden genoemd met het voorvoegsel "lepto", wat "mager" betekent.

Er zijn veel voorbeelden van leptokurtische distributies. Een van de meest bekende leptokurtische distributies is Student's distributie.

De derde classificatie voor kurtosis is platykurtic. Platykurtic-distributies zijn die met slanke staarten. Vaak hebben ze een piek lager dan een mesokurtische verdeling. De naam van dit soort distributies komt van de betekenis van het voorvoegsel "platy" dat "breed" betekent.

Allemaal uniform distributies zijn platykurtic. Daarnaast is de discreet kansverdeling van een enkele keer opgooien van een munt is platykurtic.

Deze classificaties van kurtosis zijn nog steeds enigszins subjectief en kwalitatief. Hoewel we misschien kunnen zien dat een verdeling dikkere staarten heeft dan een normale verdeling, wat als we niet de grafiek van een normale verdeling hebben om mee te vergelijken? Wat als we willen zeggen dat de ene distributie meer leptokurtisch is dan de andere?

Om dit soort vragen te beantwoorden, hebben we niet alleen een kwalitatieve beschrijving van kurtosis nodig, maar een kwantitatieve maatstaf. De gebruikte formule is μ₄/σ⁴ waar μ₄ is de vierde van Pearson moment over het gemiddelde en sigma is de standaarddeviatie.

Nu we een manier hebben om kurtosis te berekenen, kunnen we de verkregen waarden vergelijken in plaats van vormen. De normale verdeling blijkt een kurtosis van drie te hebben. Dit wordt nu onze basis voor mesokurtische distributies. Een verdeling met kurtosis groter dan drie is leptokurtisch en een verdeling met kurtosis minder dan drie is platykurtisch.

Aangezien we een mesokurtische distributie behandelen als basis voor onze andere distributies, kunnen we er drie aftrekken van onze standaardberekening voor kurtosis. De formule μ₄/σ⁴ - 3 is de formule voor overmatige kurtosis. We zouden dan een verdeling kunnen classificeren op basis van zijn overmatige kurtosis:

• Mesokurtische distributies hebben een overmaat aan kurtosis van nul.
• Platykurtische distributies hebben een negatieve overmaat aan kurtosis.
• Leptokurtische distributies hebben een positieve overmaat aan kurtosis.

Het woord "kurtosis" lijkt vreemd in de eerste of tweede lezing. Het is eigenlijk logisch, maar we moeten Grieks kennen om dit te herkennen. Kurtosis is afgeleid van een transliteratie van het Griekse woord kurtos. Dit Griekse woord heeft de betekenis "gebogen" of "uitpuilend", waardoor het een passende beschrijving is van het concept dat bekend staat als kurtosis.