Backgammon is een spel dat gebruik maakt van twee standaard dobbelstenen. De dobbelstenen die in dit spel worden gebruikt, zijn zeszijdige blokjes en de gezichten van een dobbelsteen hebben één, twee, drie, vier, vijf of zes stippen. Tijdens een beurt in backgammon mag een speler zijn of haar schijven of dammen verplaatsen volgens de nummers die op de dobbelstenen worden weergegeven. De gerolde nummers kunnen worden verdeeld over twee schijven, of ze kunnen worden opgeteld en gebruikt voor een enkele schijf. Wanneer bijvoorbeeld een 4 en een 5 worden gegooid, heeft een speler twee opties: hij mag één schijf vier velden verplaatsen en nog eens vijf velden, of één schijf kan in totaal negen velden worden verplaatst.
Om strategieën in backgammon te formuleren, is het handig om enkele basiswaarschijnlijkheden te kennen. Aangezien een speler een of twee dobbelstenen kan gebruiken om een bepaalde checker te verplaatsen, zal bij het berekenen van waarschijnlijkheden hiermee rekening worden gehouden. Voor onze backgammon-kansen zullen we de vraag beantwoorden: 'Als we twee dobbelstenen gooien, wat is dan de kans dat het getal wordt gegooid?
n als een som van twee dobbelstenen, of op minstens één van de twee dobbelstenen? 'Berekening van de kansen
Voor een enkele dobbelsteen die niet is geladen, is het even waarschijnlijk dat elke zijde open ligt. Een enkele dobbelsteen vormt een uniformvoorbeeldruimte. Er zijn in totaal zes resultaten die overeenkomen met elk van de gehele getallen 1 tot en met 6. Elk nummer heeft dus een kans dat 1/6 voorkomt.
Als we twee dobbelstenen gooien, is elke dobbelsteen onafhankelijk van de andere. Als we de volgorde bijhouden van welk nummer op elk van de dobbelstenen voorkomt, zijn er in totaal 6 x 6 = 36 even waarschijnlijke uitkomsten. Dus 36 is de noemer voor al onze kansen en elke uitkomst van twee dobbelstenen heeft een kans van 1/36.
Rolling at least een van een nummer
De kans om twee dobbelstenen te werpen en ten minste één van een getal van 1 tot 6 te krijgen, is eenvoudig te berekenen. Als we de kans willen bepalen om ten minste één 2 te gooien met twee dobbelstenen, moeten we weten hoeveel van de 36 mogelijke uitkomsten er ten minste één 2 bevatten. De manieren om dit te doen zijn:
(1, 2), (2, 2), (3, 2), (4, 2), (5, 2), (6, 2), (2, 1), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6)
Er zijn dus 11 manieren om ten minste één 2 te gooien met twee dobbelstenen, en de kans om ten minste één 2 te gooien met twee dobbelstenen is 11/36.
Er is niets bijzonders aan 2 in de voorgaande discussie. Voor een bepaald nummer n van 1 tot 6:
- Er zijn vijf manieren om precies één van dat nummer op de eerste dobbelsteen te gooien.
- Er zijn vijf manieren om precies één van dat nummer op de tweede dobbelsteen te gooien.
- Er is één manier om dat nummer op beide dobbelstenen te gooien.
Daarom zijn er 11 manieren om er minstens één te laten rollen n van 1 tot 6 met twee dobbelstenen. De kans dat dit gebeurt is 11/36.
Een bepaalde som rollen
Elk getal van twee tot 12 kan worden verkregen als de som van twee dobbelstenen. De kansen voor twee dobbelstenen zijn iets moeilijker te berekenen. Omdat er verschillende manieren zijn om deze sommen te bereiken, vormen ze geen uniforme monsterruimte. Er zijn bijvoorbeeld drie manieren om een som van vier te gooien: (1, 3), (2, 2), (3, 1), maar slechts twee manieren om een som van 11 te gooien: (5, 6), ( 6, 5).
De kans om een som van een bepaald getal te rollen is als volgt:
- De kans op een som van twee is 1/36.
- De kans op een som van drie is 2/36.
- De kans op een som van vier is 3/36.
- De kans op een som van vijf is 4/36.
- De kans op een som van zes is 5/36.
- De kans op een som van zeven is 6/36.
- De kans op een som van acht is 5/36.
- De kans op een som van negen is 4/36.
- De kans op een som van tien is 3/36.
- De kans op een som van elf is 2/36.
- De kans op een som van twaalf is 1/36.
Backgammon-kansen
Eindelijk hebben we alles wat we nodig hebben om kansen voor backgammon te berekenen. Ten minste één van een nummer rollen is wederzijds exclusief dit getal te gooien als een som van twee dobbelstenen. Zo kunnen we de toevoeging regel om de waarschijnlijkheden bij elkaar op te tellen voor het verkrijgen van een getal van 2 tot 6.
Bijvoorbeeld, de kans om minstens één van de twee dobbelstenen te gooien is 11/36. Een 6 gooien als een som van twee dobbelstenen is 5/36. De kans dat je ten minste één 6 gooit of een zes gooit als een som van twee dobbelstenen is 11/36 + 5/36 = 16/36. Andere kansen kunnen op een vergelijkbare manier worden berekend.