Kans op samenvoeging van 3 of meer sets

Als er twee evenementen zijn wederzijds exclusief, de waarschijnlijkheid van hun unie kan worden berekend met de toevoeging regel. We weten dat voor het gooien van een dobbelsteen het gooien van een getal groter dan vier of een getal kleiner dan drie elkaar uitsluitende gebeurtenissen zijn, met niets gemeen. Dus om de waarschijnlijkheid van deze gebeurtenis te vinden, voegen we eenvoudig de kans toe dat we een getal groter dan vier gooien bij de kans dat we een getal kleiner dan drie gooien. In symbolen hebben we het volgende, waar de hoofdstad P geeft "waarschijnlijkheid van" aan:

P(groter dan vier of minder dan drie) = P(meer dan vier) + P(minder dan drie) = 2/6 + 2/6 = 4/6.

Als de evenementen zijn niet elkaar uitsluiten, dan tellen we niet alleen de kansen van de gebeurtenissen bij elkaar op, maar moeten we de waarschijnlijkheid van de kruising van de evenementen. Gezien de gebeurtenissen EEN en B:

P(EEN U B) = P(EEN) + P(B) - P(EEN ∩ B).

Hier houden we rekening met de mogelijkheid om die elementen die in beide zitten dubbel te tellen

De vraag die hieruit voortkomt is: 'Waarom stoppen met twee sets? Hoe groot is de kans dat er meer dan twee sets worden samengevoegd? '

We zullen bovenstaande ideeën uitbreiden naar de situatie waarin we drie sets hebben, die we zullen aanduiden EEN, B, en C. Meer dan dit gaan we niet uit, dus bestaat de mogelijkheid dat de sets een niet-leeg kruispunt hebben. Het doel zal zijn om de waarschijnlijkheid van de vereniging van deze drie sets, of P (EEN U B U C).

De bovenstaande discussie voor twee sets geldt nog steeds. We kunnen de kansen van de individuele sets bij elkaar optellen EEN, B, en C, maar daarbij hebben we enkele elementen dubbel geteld.

De elementen op de kruising van EEN en B zijn dubbel geteld zoals voorheen, maar nu zijn er andere elementen die mogelijk tweemaal zijn geteld. De elementen op de kruising van EEN en C en in de kruising van B en C zijn nu ook twee keer geteld. Dus de kansen van deze kruispunten moet ook worden afgetrokken.

Maar hebben we te veel afgetrokken? Er is iets nieuws te bedenken waar we ons geen zorgen over hoefden te maken toen er maar twee sets waren. Net zoals twee sets een kruispunt kunnen hebben, kunnen alle drie de sets ook een kruispunt hebben. Om er zeker van te zijn dat we niets dubbel hebben geteld, hebben we niet alle elementen geteld die in alle drie de sets voorkomen. Dus de waarschijnlijkheid van de kruising van alle drie de sets moet weer worden toegevoegd.

Hier is de formule die is afgeleid van de bovenstaande discussie:

P (EEN U B U C) = P(EEN) + P(B) + P(C) - P(EEN ∩ B) - P(EEN ∩ C) - P(B ∩ C) + P(EEN ∩ B ∩ C)

Om de formule voor de waarschijnlijkheid van de vereniging van drie sets te zien, veronderstel dat we een bordspel spelen dat daarbij betrokken is twee dobbelstenen. Vanwege de regels van het spel moeten we minstens één van de dobbelstenen hebben om een ​​twee, drie of vier te zijn om te winnen. Hoe groot is de kans hierop? We merken op dat we proberen de waarschijnlijkheid van de vereniging van drie gebeurtenissen te berekenen: ten minste één twee rollen, ten minste één drie rollen, ten minste één vier rollen. We kunnen dus de bovenstaande formule gebruiken met de volgende kansen:

• De kans om een ​​twee te gooien is 11/36. De teller komt hier van het feit dat er zes uitkomsten zijn waarbij de eerste dobbelsteen een twee is, zes waarin de tweede dobbelsteen een twee is, en één uitkomst waarbij beide dobbelstenen tweeën zijn. Dit geeft ons 6 + 6 - 1 = 11.
• De kans om een ​​drie te gooien is 11/36, om dezelfde reden als hierboven.
• De kans om een ​​vier te gooien is 11/36, om dezelfde reden als hierboven.
• De kans om een ​​twee en een drie te gooien is 2/36. Hier kunnen we eenvoudig de mogelijkheden opsommen, de twee kunnen als eerste komen of het kan als tweede komen.
• De kans op een twee en een vier is 2/36, om dezelfde reden dat de kans op een twee en een drie 2/36 is.
• De kans om een ​​twee, drie en een vier te gooien is 0 omdat we maar twee dobbelstenen gooien en er geen manier is om drie getallen te krijgen met twee dobbelstenen.

We gebruiken nu de formule en zien dat de kans op het krijgen van minimaal twee, drie of vier is

11/36 + 11/36 + 11/36 – 2/36 – 2/36 – 2/36 + 0 = 27/36.

De reden waarom de formule voor de waarschijnlijkheid van de samenvoeging van vier sets zijn vorm heeft, is vergelijkbaar met de redenering voor de formule voor drie sets. Naarmate het aantal sets toeneemt, neemt ook het aantal paren, triples enzovoort toe. Met vier sets zijn er zes paarsgewijze kruispunten die moeten worden afgetrokken, vier drievoudige kruispunten om weer toe te voegen en nu een viervoudig kruispunt dat moet worden afgetrokken. Gegeven vier sets EEN, B, C en Dis de formule voor het samenvoegen van deze sets als volgt:

P (EEN U B U C U D) = P(EEN) + P(B) + P(C) +P(D) - P(EEN ∩ B) - P(EEN ∩ C) - P(EEN ∩ D)- P(B ∩ C) - P(B ∩ D) - P(C ∩ D) + P(EEN ∩ B ∩ C) + P(EEN ∩ B ∩ D) + P(EEN ∩ C ∩ D) + P(B ∩ C ∩ D) - P(EEN ∩ B ∩ C ∩ D).

We zouden formules kunnen schrijven (die er nog enger uitzien dan die hierboven) voor de waarschijnlijkheid van een vereniging van meer dan vier sets, maar als we de bovenstaande formules bestuderen, zouden we enkele patronen moeten opmerken. Deze patronen gelden om vakbonden van meer dan vier sets te berekenen. De waarschijnlijkheid van het samenvoegen van een willekeurig aantal sets kan als volgt worden gevonden:

1. Voeg de kansen van de individuele gebeurtenissen toe.
2. Trek de kansen op de kruispunten van elk paar evenementen.
3. Tel de kansen op het snijpunt van elke set van drie gebeurtenissen bij elkaar op.
4. Trek de waarschijnlijkheid van het snijpunt van elke set van vier gebeurtenissen af.
5. Ga door met dit proces totdat de laatste kans de waarschijnlijkheid is van de kruising van het totale aantal sets waarmee we zijn begonnen.