De voorwaardelijke kans van een gebeurtenis is de kans dat een evenementEEN treedt op gezien een andere gebeurtenis B is al opgetreden. Dit type waarschijnlijkheid wordt berekend door de voorbeeldruimte waarmee we alleen werken aan de set B.
De formule voor voorwaardelijke waarschijnlijkheid kan worden herschreven met behulp van enkele basisalgebra. In plaats van de formule:
P (A | B) = P (A ∩ B) / P (B),
we vermenigvuldigen beide kanten met P (B) en verkrijg de equivalente formule:
P (A | B) X P (B) = P (A ∩ B).
Vervolgens kunnen we deze formule gebruiken om de waarschijnlijkheid te vinden dat twee gebeurtenissen plaatsvinden door de voorwaardelijke waarschijnlijkheid te gebruiken.
Gebruik van formule
Deze versie van de formule is het handigst als we de voorwaardelijke kans kennen EEN gegeven B evenals de waarschijnlijkheid van de gebeurtenis B. Als dit het geval is, kunnen we de waarschijnlijkheid van de berekenen kruising van EEN gegeven B door simpelweg twee andere kansen te vermenigvuldigen. De waarschijnlijkheid dat twee gebeurtenissen elkaar kruisen is een belangrijk getal omdat het de waarschijnlijkheid is dat beide gebeurtenissen plaatsvinden.
Voorbeelden
Stel voor ons eerste voorbeeld dat we de volgende waarden voor waarschijnlijkheden kennen: P (A | B) = 0.8 en P (B) = 0,5. De kans P (A ∩ B) = 0,8 x 0,5 = 0,4.
Hoewel het bovenstaande voorbeeld laat zien hoe de formule werkt, is het misschien niet het meest verhelderend hoe nuttig de bovenstaande formule is. We zullen dus een ander voorbeeld bekijken. Er is een middelbare school met 400 leerlingen, waarvan 120 mannen en 280 vrouwen. Van de mannen is momenteel 60% ingeschreven in een wiskundecursus. Van de vrouwen is 80% momenteel ingeschreven voor een cursus wiskunde. Hoe groot is de kans dat een willekeurig geselecteerde student een vrouw is die is ingeschreven voor een wiskundecursus?
Hier laten we F duiden het evenement "geselecteerde student is een vrouw" en M het evenement "Geselecteerde student is ingeschreven in een wiskundecursus." We moeten de waarschijnlijkheid van de kruising van deze twee gebeurtenissen bepalen, of P (M ∩ F).
De bovenstaande formule laat ons dat zien P (M ∩ F) = P (M | F) x P (F). De kans dat een vrouwtje wordt geselecteerd is P (F) = 280/400 = 70%. De voorwaardelijke kans dat de geselecteerde student is ingeschreven voor een wiskundecursus, aangezien een vrouw is geselecteerd is P (M | F) = 80%. We vermenigvuldigen deze kansen samen en zien dat we een kans van 80% x 70% = 56% hebben om een vrouwelijke student te selecteren die is ingeschreven voor een wiskundecursus.
Test voor onafhankelijkheid
De bovenstaande formule met betrekking tot voorwaardelijke waarschijnlijkheid en de kans op kruising geeft ons een gemakkelijke manier om te bepalen of we te maken hebben met twee onafhankelijke gebeurtenissen. Sinds evenementen EEN en B zijn onafhankelijk als P (A | B) = P (A)volgt uit de bovenstaande formule dat gebeurtenissen EEN en B zijn onafhankelijk als en alleen als:
P (A) x P (B) = P (A ∩ B)
Dus als we dat weten VADER ) = 0.5, P (B) = 0,6 en P (A ∩ B) = 0.2, zonder iets anders te weten, kunnen we vaststellen dat deze gebeurtenissen niet onafhankelijk zijn. We weten dit omdat P (A) x P (B) = 0,5 x 0,6 = 0,3. Dit is niet de waarschijnlijkheid van de kruising van EEN en B.