Wat zijn kans-axioma's?

Een strategie in de wiskunde is om te beginnen met een paar stellingen en vervolgens meer wiskunde op te bouwen uit deze stellingen. De begininstructies staan ​​bekend als axioma's. Een axioma is typisch iets dat wiskundig vanzelfsprekend is. Uit een relatief korte lijst van axioma's wordt deductieve logica gebruikt om andere verklaringen, stellingen of stellingen genoemd, te bewijzen.

Het gebied van de wiskunde dat waarschijnlijkheid wordt genoemd, is niet anders. De waarschijnlijkheid kan worden teruggebracht tot drie axioma's. Dit werd voor het eerst gedaan door de wiskundige Andrei Kolmogorov. Het handjevol axioma's die aan de waarschijnlijkheid ten grondslag liggen, kan worden gebruikt om alles af te leiden soorten van resultaten. Maar wat zijn deze kans-axioma's?

Om de axioma's voor waarschijnlijkheid te begrijpen, moeten we eerst enkele basisdefinities bespreken. We veronderstellen dat we een reeks resultaten hebben, de voorbeeldruimte S. Deze voorbeeldruimte kan worden gezien als de universele set voor de situatie die we bestuderen. De voorbeeldruimte bestaat uit subsets die events worden genoemd

We gaan er ook van uit dat er een manier is om aan elke gebeurtenis een waarschijnlijkheid toe te kennen E. Dit kan worden gezien als een functie met een set voor een invoer, en een echt nummer als output. De waarschijnlijkheid van de evenementE wordt aangeduid met P(E).

Het eerste axioma van waarschijnlijkheid is dat de kans op een gebeurtenis een niet-negatief reëel getal is. Dit betekent dat de kleinste kans die ooit kan zijn nul is en dat deze niet oneindig kan zijn. De reeks cijfers die we kunnen gebruiken, zijn echte cijfers. Dit verwijst naar zowel rationele getallen, ook wel breuken genoemd, als irrationele getallen die niet als breuken kunnen worden geschreven.

Een ding om op te merken is dat dit axioma niets zegt over hoe groot de kans op een gebeurtenis kan zijn. Het axioma elimineert de mogelijkheid van negatieve waarschijnlijkheden. Het weerspiegelt het idee dat de kleinste waarschijnlijkheid, gereserveerd voor onmogelijke gebeurtenissen, nul is.

Het tweede waarschijnlijkheids axioma is dat de waarschijnlijkheid van de gehele monsterruimte één is. Symbolisch schrijven we P(S) = 1. Impliciet in dit axioma is het idee dat de monsterruimte al het mogelijke is voor ons waarschijnlijkheidsexperiment en dat er geen gebeurtenissen buiten de monsterruimte zijn.

Op zichzelf stelt dit axioma geen bovengrens voor de waarschijnlijkheid van gebeurtenissen die niet de volledige steekproefruimte zijn. Het geeft wel aan dat iets met absolute zekerheid een kans van 100% heeft.

Het derde axioma van waarschijnlijkheid heeft betrekking op elkaar uitsluitende gebeurtenissen. Als E₁ en E₂ zijn wederzijds exclusief, wat betekent dat ze een leeg kruispunt hebben en we gebruiken U om de eenheid aan te duiden P(E₁ U E₂ ) = P(E₁) + P(E₂).

Het axioma bestrijkt eigenlijk de situatie met verschillende (zelfs ontelbaar oneindige) gebeurtenissen, waarvan elk paar elkaar uitsluiten. Zolang dit gebeurt, de waarschijnlijkheid van de vakbond van de gebeurtenissen is hetzelfde als de som van de kansen:

P(E₁ U E₂ U... U E_n ) = P(E₁) + P(E₂) +... + E_n

Hoewel dit derde axioma misschien niet zo nuttig lijkt, zullen we zien dat het in combinatie met de andere twee axioma's inderdaad behoorlijk krachtig is.

De drie axioma's vormen een bovengrens voor de kans op een gebeurtenis. We duiden het complement van het evenement aan E door E^C. Van verzamelingenleer, E en E^C hebben een leeg kruispunt en sluiten elkaar uit. Verder E U E^C = S, de volledige monsterruimte.

Deze feiten, gecombineerd met de axioma's, geven ons:

1 = P(S) = P(E U E^C) = P(E) + P(E^C) .

We herschikken de bovenstaande vergelijking en zien dat P(E) = 1 - P(E^C). Omdat we weten dat kansen niet-negatief moeten zijn, hebben we nu dat een bovengrens voor de kans op een gebeurtenis 1 is.

Door de formule opnieuw te herschikken hebben we P(E^C) = 1 - P(E). Uit deze formule kunnen we ook afleiden dat de kans dat een gebeurtenis zich niet voordoet één min de kans is dat deze wel optreedt.

De bovenstaande vergelijking biedt ons ook een manier om de waarschijnlijkheid van de onmogelijke gebeurtenis te berekenen, aangegeven door de lege set. Om dit te zien, bedenk dat de lege set in dit geval het complement is van de universele set S^C. Aangezien 1 = P(S) + P(S^C) = 1 + P(S^C), door algebra die we hebben P(S^C) = 0.

Bovenstaande zijn slechts een paar voorbeelden van eigenschappen die rechtstreeks vanuit de axioma's kunnen worden bewezen. Er zijn veel meer waarschijnlijkheidsresultaten. Maar al deze stellingen zijn logische uitbreidingen van de drie axioma's van waarschijnlijkheid.