Bij het omgaan met verzamelingenleer, zijn er een aantal bewerkingen om van oude sets nieuwe sets te maken. Een van de meest voorkomende setbewerkingen wordt het kruispunt genoemd. Simpel gezegd, het snijpunt van twee sets EEN en B is de verzameling van alle elementen die beide EEN en B gemeenschappelijk hebben.
We zullen kijken naar details met betrekking tot het snijpunt in verzamelingenleer. Zoals we zullen zien, is het sleutelwoord hier het woord "en".
Een voorbeeld
Voor een voorbeeld van hoe het snijpunt van twee sets een nieuwe set, laten we de sets eens bekijken EEN = {1, 2, 3, 4, 5} en B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Om het snijpunt van deze twee sets te vinden, moeten we uitzoeken welke elementen ze gemeen hebben. De nummers 3, 4, 5 zijn elementen van beide sets, dus de snijpunten van EEN en B is {3. 4. 5].
Notatie voor kruising
Naast het begrijpen van de concepten met betrekking tot verzamelingen van verzamelingen, is het belangrijk om symbolen te kunnen lezen die worden gebruikt om deze bewerkingen aan te duiden. Het symbool voor kruising wordt soms vervangen door het woord "en" tussen twee sets. Dit woord suggereert de compactere notatie voor een kruispunt dat doorgaans wordt gebruikt.
Het symbool dat wordt gebruikt voor de kruising van de twee sets EEN en B is gegeven door EEN ∩ B. Een manier om te onthouden dat dit symbool ∩ verwijst naar kruising, is door de gelijkenis met een hoofdletter A op te merken, wat een afkorting is voor het woord 'en'.
Raadpleeg het bovenstaande voorbeeld om deze notatie in actie te zien. Hier hadden we de sets EEN = {1, 2, 3, 4, 5} en B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Dus we zouden de vaste vergelijking schrijven EEN ∩ B = {3, 4, 5}.
Kruising met de lege set
Een basisidentiteit waarbij het snijpunt betrokken is, laat ons zien wat er gebeurt als we het snijpunt van een set met de lege set nemen, aangegeven met # 8709. De lege set is de set zonder elementen. Als er geen elementen zijn in ten minste één van de sets waarvan we proberen het snijpunt te vinden, hebben de twee sets geen elementen gemeen. Met andere woorden, het snijpunt van elke set met de lege set zal ons de lege set geven.
Deze identiteit wordt nog compacter door het gebruik van onze notatie. We hebben de identiteit: EEN ∩ ∅ = ∅.
Kruising met de universele set
Wat gebeurt er voor het andere uiterste als we de kruising van een set met de universele set onderzoeken? Vergelijkbaar met hoe het woord universum wordt in de astronomie gebruikt om alles te betekenen, de universele set bevat elk element. Hieruit volgt dat elk element van onze set ook een element is van de universele set. Het snijpunt van elke set met de universele set is dus de set waarmee we zijn begonnen.
Opnieuw komt onze notatie te hulp om deze identiteit beknopter uit te drukken. Voor elke set EEN en de universele set U, EEN ∩ U = EEN.
Andere identiteiten met betrekking tot de kruising
Er zijn veel meer vaste vergelijkingen die het gebruik van de intersectie-operatie inhouden. Natuurlijk is het altijd goed om praktijk met behulp van de taal van de verzamelingenleer. Voor alle sets EEN, en B en D wij hebben:
- Reflexieve eigenschap: EEN ∩ EEN =EEN
- Gemeenschappelijk eigendom: EEN ∩ B = B ∩ EEN
- Associatief eigendom: (EEN ∩ B) ∩ D =EEN ∩ (B ∩ D)
- Distributieve eigendom: (EEN ∪ B) ∩ D = (EEN ∩ D)∪ (B ∩ D)
- DeMorgan's Law I: (EEN ∩ B)C = EENC ∪ BC
- DeMorgan's Law II: (EEN ∪ B)C = EENC ∩ BC