Hoe de startwaarde van een exponentiële functie te vinden

Exponentiële functies vertellen de verhalen van explosieve verandering. De twee soorten exponentiële functies zijn exponentiële groei en exponentieel verval. Vier variabelen - procentuele verandering, tijd, het bedrag aan het begin van de periode en het bedrag aan het einde van de periode - spelen rollen in exponentiële functies. Dit artikel richt zich op hoe u het bedrag aan het begin van de periode kunt vinden, een.

Exponentiële groei: de verandering die optreedt wanneer een oorspronkelijk bedrag gedurende een bepaalde periode met een consistent tarief wordt verhoogd

Exponentiële groei in het echte leven:

• Waarden van huizenprijzen
• Waarden van investeringen
• Toegenomen lidmaatschap van een populaire sociale netwerksite

Hier is een exponentiële groeifunctie:

y = een(1 + b)^X

• y: Het definitieve bedrag dat over een bepaalde periode overblijft
• een: Het oorspronkelijke bedrag
• X: Tijd
• De groeifactor is (1 + b).
• De variabele, b, is procentuele verandering in decimale vorm.

Exponentieel verval: de verandering die optreedt wanneer een oorspronkelijk bedrag gedurende een bepaalde periode met een consistent tarief wordt verlaagd

Exponentieel verval in het echte leven:

• Afname van het aantal lezers van kranten
• Daling van beroertes in de Verenigde Staten
• Aantal mensen dat in een door een orkaan geteisterde stad blijft

Hier is een exponentiële vervalfunctie:

y = een(1-b)^X

• y: Het definitieve bedrag dat overblijft na het verval gedurende een bepaalde periode
• een: Het oorspronkelijke bedrag
• X: Tijd
• De vervalfactor is (1-b).
• De variabele, b, is procentuele afname in decimale vorm.

Over zes jaar wil je misschien een undergraduate degree volgen aan Dream University. Met een prijskaartje van $ 120.000 roept Dream University financiële nachtmerries op. Na slapeloze nachten ontmoeten u, mama en papa een financiële planner. De bloeddoorlopen ogen van je ouders worden helder wanneer de planner een investering onthult met een groeipercentage van 8% waarmee je gezin het doel van $ 120.000 kan bereiken. Hard studeren. Als jij en je ouders vandaag $ 75.620,36 investeren, wordt Dream University jouw realiteit.

Deze functie beschrijft de exponentiële groei van de investering:

120,000 = een(1 +.08)⁶

• 120.000: definitief bedrag resterend na 6 jaar
• .08: Jaarlijks groeipercentage
• 6: Het aantal jaren dat de investering groeit
• een: Het initiële bedrag dat uw gezin heeft geïnvesteerd

Tip: Dankzij de symmetrische eigenschap van gelijkheid, 120.000 = een(1 +.08)⁶ is hetzelfde als een(1 +.08)⁶ = 120,000. (Symmetrische eigenschap van gelijkheid: als 10 + 5 = 15, dan 15 = 10 + 5.)

Als u de vergelijking liever herschrijft met de constante, 120.000, aan de rechterkant van de vergelijking, doe dat dan.

een(1 +.08)⁶ = 120,000

Toegegeven, de vergelijking ziet er niet uit als een lineaire vergelijking (6een = $ 120.000), maar het is oplosbaar. Blijf erbij!

een(1 +.08)⁶ = 120,000

Wees voorzichtig: los deze exponentiële vergelijking niet op door 120.000 door 6 te delen. Het is een verleidelijke wiskunde nee-nee.

1. Gebruik Volgorde van bewerkingen versimpelen.

een(1 +.08)⁶ = 120,000

een(1.08)⁶ = 120.000 (haakjes)

een(1.586874323) = 120.000 (exponent)

2. Los op door te delen

een(1.586874323) = 120,000

een(1.586874323)/(1.586874323) = 120,000/(1.586874323)

1een = 75,620.35523

een = 75,620.35523

Het oorspronkelijke bedrag, of het bedrag dat uw gezin zou moeten investeren, is ongeveer $ 75.620,36.

3. Bevriezen - je bent nog niet klaar. Gebruik de volgorde van bewerkingen om uw antwoord te controleren.

120,000 = een(1 +.08)⁶

120,000 = 75,620.35523(1 +.08)⁶

120,000 = 75,620.35523(1.08)⁶ (Haakje)

120.000 = 75.620.35523 (1.586874323) (exponent)

120.000 = 120.000 (vermenigvuldiging)

Hier zijn voorbeelden van hoe u het oorspronkelijke bedrag kunt oplossen, gezien de exponentiële functie:

1. 84 = een(1+.31)⁷
   Gebruik Order of Operations om te vereenvoudigen.
   84 = een(1.31)⁷ (Haakje)
   84 = een(6.620626219) (Exponent)
   Verdeel om op te lossen.
   84/6.620626219 = een(6.620626219)/6.620626219
   12.68762157 = 1een
   12.68762157 = een
   Gebruik Order of Operations om uw antwoord te controleren.
   84 = 12.68762157(1.31)⁷ (Haakje)
   84 = 12.68762157 (6.620626219) (exponent)
   84 = 84 (vermenigvuldiging)
2. een(1 -.65)³ = 56
   Gebruik Order of Operations om te vereenvoudigen.
   een(.35)³ = 56 (haakje)
   een(.042875) = 56 (exponent)
   Verdeel om op te lossen.
   een(.042875)/.042875 = 56/.042875
   een = 1,306.122449
   Gebruik Order of Operations om uw antwoord te controleren.
   een(1 -.65)³ = 56
   1,306.122449(.35)³ = 56 (haakje)
   1.306.122449 (.042875) = 56 (exponent)
   56 = 56 (vermenigvuldigen)
3. een(1 + .10)⁵ = 100,000
   Gebruik Order of Operations om te vereenvoudigen.
   een(1.10)⁵ = 100.000 (haakjes)
   een(1.61051) = 100.000 (exponent)
   Verdeel om op te lossen.
   een(1.61051)/1.61051 = 100,000/1.61051
   een = 62,092.13231
   Gebruik Order of Operations om uw antwoord te controleren.
   62,092.13231(1 + .10)⁵ = 100,000
   62,092.13231(1.10)⁵ = 100.000 (haakjes)
   62.092.13231 (1.61051) = 100.000 (exponent)
   100.000 = 100.000 (vermenigvuldigen)
4. 8,200 = een(1.20)¹⁵
   Gebruik Order of Operations om te vereenvoudigen.
   8,200 = een(1.20)¹⁵ (Exponent)
   8,200 = een(15.40702157)
   Verdeel om op te lossen.
   8,200/15.40702157 = een(15.40702157)/15.40702157
   532.2248665 = 1een
   532.2248665 = een
   Gebruik Order of Operations om uw antwoord te controleren.
   8,200 = 532.2248665(1.20)¹⁵
   8.200 = 532.2248665 (15.40702157) (exponent)
   8.200 = 8200 (Nou, 8.199.9999... Gewoon een beetje een afrondingsfout.) (Vermenigvuldigen.)
5. een(1 -.33)² = 1,000
   Gebruik Order of Operations om te vereenvoudigen.
   een(.67)² = 1.000 (haakjes)
   een(.4489) = 1.000 (exponent)
   Verdeel om op te lossen.
   een(.4489)/.4489 = 1,000/.4489
   1een = 2,227.667632
   een = 2,227.667632
   Gebruik Order of Operations om uw antwoord te controleren.
   2,227.667632(1 -.33)² = 1,000
   2,227.667632(.67)² = 1.000 (haakjes)
   2.227.667632 (.4489) = 1.000 (exponent)
   1.000 = 1.000 (vermenigvuldigen)
6. een(.25)⁴ = 750
   Gebruik Order of Operations om te vereenvoudigen.
   een(.00390625) = 750 (exponent)
   Verdeel om op te lossen.
   een(.00390625)/00390625= 750/.00390625
   1a = 192.000
   a = 192.000
   Gebruik Order of Operations om uw antwoord te controleren.
   192,000(.25)⁴ = 750
   192,000(.00390625) = 750
   750 = 750