Voorwaardelijke waarschijnlijkheid: notatie en voorbeelden

Een eenvoudig voorbeeld van voorwaardelijk waarschijnlijkheid is de kans dat een kaart getrokken uit een standaard kaartspel een koning is. Er zijn in totaal vier koningen van de 52 kaarten, dus de kans is gewoon 4/52. Gerelateerd aan deze berekening is de volgende vraag: "Wat is de kans dat we een koning trekken, gegeven dat we hebben al een kaart uit het kaartspel getrokken en het is een aas? 'Hier bekijken we de inhoud van het kaartspel kaarten. Er zijn nog steeds vier koningen, maar nu zijn er slechts 51 kaarten in het spel. De kans om een ​​koning te trekken, aangezien er al een aas is getrokken, is 4/51.

Voorwaardelijke kans wordt gedefinieerd als de waarschijnlijkheid van een gebeurtenis, aangezien er een andere gebeurtenis heeft plaatsgevonden. Als we deze evenementen benoemen EEN en B, dan kunnen we praten over de waarschijnlijkheid van EEN gegeven B. We kunnen ook verwijzen naar de waarschijnlijkheid van EEN afhankelijk van B.

De notatie voor voorwaardelijke waarschijnlijkheid varieert van leerboek tot leerboek. In alle notaties is de indicatie dat de waarschijnlijkheid waarnaar we verwijzen afhankelijk is van een andere gebeurtenis. Een van de meest voorkomende notaties voor de waarschijnlijkheid van

Er is een formule voor voorwaardelijke waarschijnlijkheid die dit verbindt met de waarschijnlijkheid van EEN en B:

P (A | B) = P (A ∩ B) / P (B)

Wat deze formule in wezen zegt, is dat om de voorwaardelijke waarschijnlijkheid van de gebeurtenis te berekenen EEN gezien het evenement B, we veranderen onze sample ruimte om alleen uit de set te bestaan B. Hierbij houden we niet rekening met het hele evenement EEN, maar alleen het deel van EEN dat is ook opgenomen in B. De set die we zojuist hebben beschreven, kan in meer bekende termen worden geïdentificeerd als de kruising van EEN en B.

We kunnen gebruiken algebra om bovenstaande formule op een andere manier uit te drukken:

P (A ∩ B) = P (A | B) P (B)

In het licht van deze informatie zullen we het voorbeeld opnieuw bekijken waarmee we zijn begonnen. We willen de kans weten om een ​​koning te trekken, aangezien er al een aas is getrokken. Dus het evenement EEN is dat we een koning tekenen. Evenement B is dat we een aas trekken.

De kans dat beide gebeurtenissen plaatsvinden en we een aas trekken en dan een koning komt overeen met P (A ∩ B). De waarde van deze kans is 12/2652. De kans op een gebeurtenis B, dat we een aas trekken is 4/52. We gebruiken dus de voorwaardelijke kansformule en zien dat de kans om een ​​koning te trekken dan een aas is getrokken, is (16/2652) / (4/52) = 4/51.

Voor een ander voorbeeld zullen we kijken naar het waarschijnlijkheidsexperiment waar we gooi twee dobbelstenen. Een vraag die we zouden kunnen stellen is: "Wat is de kans dat we een drie hebben gegooid, aangezien we een som van minder dan zes hebben gegooid?"

Hier het evenement EEN is dat we een drie hebben gegooid, en het evenement B is dat we een bedrag van minder dan zes hebben gegooid. Er zijn in totaal 36 manieren om twee dobbelstenen te gooien. Van deze 36 manieren kunnen we een bedrag van minder dan zes op tien manieren rollen:

• 1 + 1 = 2
• 1 + 2 = 3
• 1 + 3 = 4
• 1 + 4 = 5
• 2 + 1 = 3
• 2 + 2 = 4
• 2 + 3 = 5
• 3 + 1 = 4
• 3 + 2 = 5
• 4 + 1 = 5

Er zijn enkele gevallen waarin de voorwaardelijke waarschijnlijkheid van EEN gezien het evenement B is gelijk aan de waarschijnlijkheid van EEN. In deze situatie zeggen we dat de gebeurtenissen EEN en B zijn onafhankelijk van elkaar. De bovenstaande formule wordt:

P (A | B) = P (A) = P (A ∩ B) / P (B),

en we recupereren de formule dat voor onafhankelijke gebeurtenissen de waarschijnlijkheid van beide EEN en B wordt gevonden door de kansen van elk van deze gebeurtenissen te vermenigvuldigen:

P (A ∩ B) = P (B) P (A)

Als twee evenementen onafhankelijk zijn, betekent dit dat het ene evenement geen effect heeft op het andere. De ene munt omdraaien en de andere is een voorbeeld van onafhankelijke gebeurtenissen. De ene muntomslag heeft geen effect op de andere.

Wees heel voorzichtig om vast te stellen welke gebeurtenis van de ander afhangt. In het algemeen P (A | B) is niet gelijk aan P (B | A). Dat is de waarschijnlijkheid van EEN gezien het evenement B is niet hetzelfde als de waarschijnlijkheid van B gezien het evenement EEN.

In een voorbeeld hierboven zagen we dat bij het gooien van twee dobbelstenen, de kans om een ​​drie te gooien, gegeven dat we een som van minder dan zes gegooid hadden, 4/10 was. Aan de andere kant, hoe groot is de kans dat een som van minder dan zes wordt gegooid, aangezien we een drie hebben gegooid? De kans om een ​​drie en een som van minder dan zes te gooien is 4/36. De kans om minstens één drie te gooien is 11/36. Dus de voorwaardelijke kans is in dit geval (4/36) / (11/36) = 4/11.