Chuck-a-Luck is een kansspel. Drie dobbelstenen worden gerold, soms in een draadframe. Vanwege dit frame wordt dit spel ook wel vogelkooi genoemd. Dit spel wordt vaker gezien in carnaval dan in casino's. Door het gebruik van willekeurige dobbelstenen kunnen we waarschijnlijkheid gebruiken om dit spel te analyseren. Meer specifiek kunnen we de verwachte waarde van dit spel berekenen.
Weddenschappen
Er zijn verschillende soorten weddenschappen waarop u kunt wedden. We zullen alleen de weddenschap op één nummer beschouwen. Bij deze weddenschap kiezen we eenvoudig een specifiek nummer van één tot zes. Daarna gooien we de dobbelstenen. Overweeg de mogelijkheden. Alle dobbelstenen, twee, één of geen, konden het nummer tonen dat we hebben gekozen.
Stel dat deze game het volgende betaalt:
- $ 3 als alle drie de dobbelstenen overeenkomen met het gekozen nummer.
- $ 2 als precies twee dobbelstenen overeenkomen met het gekozen nummer.
- $ 1 als precies één van de dobbelstenen overeenkomt met het gekozen nummer.
Als geen van de dobbelstenen overeenkomt met het gekozen nummer, moeten we $ 1 betalen.
Wat is de verwachte waarde van dit spel? Met andere woorden, hoeveel zouden we op de lange termijn gemiddeld verwachten te winnen of te verliezen als we dit spel herhaaldelijk spelen?
Waarschijnlijkheden
Om de verwachte waarde van dit spel te vinden, moeten we vier kansen bepalen. Deze kansen komen overeen met de vier mogelijke uitkomsten. We merken op dat elke dobbelsteen onafhankelijk is van de andere. Vanwege deze onafhankelijkheid gebruiken we de vermenigvuldigingsregel. Dit helpt ons bij het bepalen van het aantal uitkomsten.
We gaan er ook van uit dat de dobbelstenen eerlijk zijn. Elk van de zes zijden van elk van de drie dobbelstenen wordt even waarschijnlijk gegooid.
Er zijn 6 x 6 x 6 = 216 mogelijke resultaten bij het gooien van deze drie dobbelstenen. Dit nummer is de noemer voor al onze kansen.
Er is één manier om alle drie de dobbelstenen te matchen met het gekozen nummer.
Er zijn vijf manieren waarop een enkele dobbelsteen niet overeenkomt met het door jou gekozen nummer. Dit betekent dat er geen 5 x 5 x 5 = 125 manieren zijn waarop geen van onze dobbelstenen overeenkomt met het gekozen nummer.
Als we precies twee van de dobbelstenen matchen, dan hebben we één dobbelsteen die niet overeenkomt.
- Er zijn 1 x 1 x 5 = 5 manieren waarop de eerste twee dobbelstenen overeenkomen met ons nummer en de derde anders is.
- Er zijn 1 x 5 x 1 = 5 manieren waarop de eerste en derde dobbelsteen overeenkomen, waarbij de tweede anders is.
- Er zijn 5 x 1 x 1 = 5 manieren waarop de eerste dobbelsteen anders is en de tweede en derde overeenkomen.
Dit betekent dat er in totaal 15 manieren zijn om precies twee dobbelstenen te matchen.
We hebben nu het aantal manieren berekend om op één na al onze resultaten te verkrijgen. Er zijn 216 rollen mogelijk. We zijn goed voor 1 + 15 + 125 = 141 van hen. Dit betekent dat er 216 -141 = 75 over zijn.
We verzamelen alle bovenstaande informatie en zien:
- De kans dat ons nummer overeenkomt met alle drie de dobbelstenen is 1/216.
- De kans dat ons aantal precies overeenkomt met twee dobbelstenen is 15/216.
- De kans dat ons nummer precies overeenkomt met één dobbelsteen is 75/216.
- De kans dat ons nummer overeenkomt met geen van de dobbelstenen is 125/216.
Verwachte waarde
We zijn nu klaar om de verwachte waarde van deze situatie. De formule voor verwachte waarde vereist dat we de waarschijnlijkheid van elke gebeurtenis vermenigvuldigen met de netto winst of verlies als de gebeurtenis zich voordoet. Vervolgens voegen we al deze producten bij elkaar.
De berekening van de verwachte waarde is als volgt:
(3)(1/216) + (2)(15/216) +(1)(75/216) +(-1)(125/216) = 3/216 +30/216 +75/216 -125/216 = -17/216
Dit is ongeveer - $ 0,08. De interpretatie is dat als we dit spel herhaaldelijk zouden spelen, we gemiddeld 8 cent zouden verliezen elke keer dat we speelden.