Het is belangrijk om te weten hoe je de kans op een gebeurtenis kunt berekenen. Bepaalde soorten gebeurtenissen worden waarschijnlijk onafhankelijk genoemd. Als we een paar onafhankelijke gebeurtenissen hebben, kunnen we ons soms afvragen: "Hoe groot is de kans dat beide gebeurtenissen plaatsvinden?" In deze situatie kunnen we onze twee kansen eenvoudigweg vermenigvuldigen.
We zullen zien hoe we de vermenigvuldigingsregel kunnen gebruiken voor onafhankelijke gebeurtenissen. Nadat we de basis hebben doorgenomen, zullen we de details van een paar berekeningen zien.
We beginnen met een definitie van onafhankelijke gebeurtenissen. In waarschijnlijkheidtwee gebeurtenissen zijn onafhankelijk als de uitkomst van één gebeurtenis de uitkomst van de tweede gebeurtenis niet beïnvloedt.
Een goed voorbeeld van een paar onafhankelijke gebeurtenissen is wanneer we een dobbelsteen gooien en dan een munt opgooien. Het nummer dat op de dobbelsteen staat, heeft geen invloed op de gegooide munt. Daarom zijn deze twee evenementen onafhankelijk.
Een voorbeeld van een paar gebeurtenissen die niet onafhankelijk zijn, is het geslacht van elke baby in een tweeling. Als de tweeling identiek is, zullen ze allebei mannelijk zijn, of allebei vrouwelijk.
De vermenigvuldigingsregel voor onafhankelijke gebeurtenissen relateert de waarschijnlijkheid van twee gebeurtenissen aan de waarschijnlijkheid dat ze beide voorkomen. Om de regel te gebruiken, moeten we de waarschijnlijkheid hebben van elk van de onafhankelijke gebeurtenissen. Gezien deze gebeurtenissen geeft de vermenigvuldigingsregel aan dat de kans dat beide gebeurtenissen plaatsvinden, wordt gevonden door de kansen van elke gebeurtenis te vermenigvuldigen.
Geef evenementen aan EEN en B en de kansen van elk door VADER) en P (B). Als EEN en B zijn onafhankelijke evenementen, dan:
Sommige versies van deze formule gebruiken nog meer symbolen. In plaats van het woord "en" kunnen we in plaats daarvan het snijpuntsymbool gebruiken: ∩. Soms wordt deze formule gebruikt als definitie van onafhankelijke gebeurtenissen. Evenementen zijn onafhankelijk als en alleen als VADER en B) = P (A) X P (B).
We zullen zien hoe we de vermenigvuldigingsregel kunnen gebruiken door naar enkele voorbeelden te kijken. Stel eerst dat we een zeszijdige dobbelsteen gooien en dan een munt omdraaien. Deze twee evenementen zijn onafhankelijk. De kans om een 1 te gooien is 1/6. De kans op een hoofd is 1/2. De kans om een 1 te rollen en een hoofd krijgen is 1/6 x 1/2 = 1/12.
Als we geneigd waren sceptisch te zijn over dit resultaat, is dit voorbeeld klein genoeg om alle uitkomsten te bereiken kan worden vermeld: {(1, H), (2, H), (3, H), (4, H), (5, H), (6, H), (1, T), (2, T), (3, T), (4, T), (5, T), (6, T)}. We zien dat er twaalf uitkomsten zijn, die allemaal even waarschijnlijk zullen voorkomen. Daarom is de kans op 1 en een kop 1/12. De vermenigvuldigingsregel was veel efficiënter omdat we niet de hele voorbeeldruimte hoefden op te sommen.
Stel voor het tweede voorbeeld dat we een kaart trekken van a standaard dek, vervang deze kaart, schud de stapel en trek opnieuw. Vervolgens vragen we wat de kans is dat beide kaarten koningen zijn. Sinds we hebben getekend met vervanging, deze gebeurtenissen zijn onafhankelijk en de vermenigvuldigingsregel is van toepassing.
De kans om een koning te trekken voor de eerste kaart is 1/13. De kans om een koning te trekken bij de tweede trekking is 1/13. De reden hiervoor is dat we de koning vervangen die we vanaf de eerste keer hebben getekend. Aangezien deze gebeurtenissen onafhankelijk zijn, gebruiken we de vermenigvuldigingsregel om te zien dat de kans om twee koningen te tekenen wordt gegeven door het volgende product 1/13 x 1/13 = 1/169.
Als we de koning niet zouden vervangen, zouden we een andere situatie hebben waarin de gebeurtenissen niet onafhankelijk zouden zijn. De kans op het trekken van een heer op de tweede kaart wordt beïnvloed door het resultaat van de eerste kaart.