Tijdens wiskunde en statistiek moeten we weten hoe we moeten tellen. Dit geldt met name voor sommigen waarschijnlijkheid problemen. Stel dat we een totaal van krijgen n verschillende objecten en wilt selecteren r van hen. Dit raakt direct aan een gebied van de wiskunde dat bekend staat als combinatoriek, wat de studie van tellen is. Twee van de belangrijkste manieren om deze te tellen r objecten uit n elementen worden permutaties en combinaties genoemd. Deze concepten zijn nauw met elkaar verbonden en gemakkelijk te verwarren.
Wat is het verschil tussen een combinatie en permutatie? Het belangrijkste idee is dat van orde. Een permutatie besteedt aandacht aan de volgorde waarin we onze objecten selecteren. Dezelfde set objecten, maar in een andere volgorde genomen, geeft ons verschillende permutaties. Bij een combinatie selecteren we nog steeds r objecten van in totaal n, maar de bestelling wordt niet meer overwogen.
Een voorbeeld van permutaties
Om onderscheid te maken tussen deze ideeën, zullen we het volgende voorbeeld beschouwen: hoeveel permutaties zijn er van twee letters uit de set {
a, b, c}?Hier vermelden we alle paren elementen uit de gegeven set, terwijl we aandacht besteden aan de volgorde. Er zijn in totaal zes permutaties. De lijst van al deze zijn: ab, ba, bc, cb, ac en ca. Merk op dat als permutaties ab en ba zijn anders omdat in één geval een werd eerst gekozen, en in de andere een werd als tweede gekozen.
Een voorbeeld van combinaties
Nu zullen we de volgende vraag beantwoorden: hoeveel combinaties zijn er van twee letters uit de set {a, b, c}?
Omdat we te maken hebben met combinaties, geven we niet meer om de bestelling. We kunnen dit probleem oplossen door terug te kijken naar de permutaties en die met dezelfde letters te verwijderen. Als combinaties, ab en ba worden als hetzelfde beschouwd. Er zijn dus maar drie combinaties: ab, ac en bc.
Formules
Voor situaties die we tegenkomen bij grotere sets is het te tijdrovend om alle mogelijke permutaties of combinaties op te sommen en het eindresultaat te tellen. Gelukkig zijn er formules die ons het aantal permutaties of combinaties van geven n genomen objecten r tegelijk.
In deze formules gebruiken we de afkorting van n! gebeld nfaculteit. De faculteit zegt eenvoudigweg dat alle positieve gehele getallen kleiner dan of gelijk aan moeten worden vermenigvuldigd n samen. Dus bijvoorbeeld 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24. Per definitie 0! = 1.
Het aantal permutaties van n genomen objecten r tegelijk wordt gegeven door de formule:
P(n,r) = n!/(n - r)!
Het aantal combinaties van n genomen objecten r tegelijk wordt gegeven door de formule:
C(n,r) = n!/[r!(n - r)!]
Formules op het werk
Laten we naar het eerste voorbeeld kijken om de formules aan het werk te zien. Het aantal permutaties van een set van drie objecten die met twee tegelijk worden genomen, wordt gegeven door P(3,2) = 3!/(3 - 2)! = 6/1 = 6. Dit komt precies overeen met wat we hebben verkregen door alle permutaties op te sommen.
Het aantal combinaties van een set van drie objecten die met twee tegelijk worden genomen, wordt gegeven door:
C(3,2) = 3!/[2!(3-2)!] = 6/2 = 3. Nogmaals, dit komt precies overeen met wat we eerder zagen.
De formules besparen zeker tijd wanneer ons wordt gevraagd om het aantal permutaties van een grotere set te vinden. Hoeveel permutaties zijn er bijvoorbeeld van een set van tien objecten die er drie tegelijk worden genomen? Het zou even duren om alle permutaties op te sommen, maar met de formules zien we dat er zou zijn:
P(10,3) = 10!/(10-3)! = 10!/7! = 10 x 9 x 8 = 720 permutaties.
De hoofdgedachte
Wat is het verschil tussen permutaties en combinaties? Waar het op neerkomt, is dat bij het tellen van situaties waarbij een order betrokken is, permutaties moeten worden gebruikt. Als de volgorde niet belangrijk is, moeten combinaties worden gebruikt.