Definitie en gebruik van vakbonden in de wiskunde

Een bewerking die vaak wordt gebruikt om nieuwe sets van oude te vormen, wordt de union genoemd. In het algemeen betekent het woord vakbond een samenbrengen, zoals vakbonden in georganiseerde arbeid of de Staat van de Unie adres dat de VS President maakt voor een gezamenlijke zitting van het Congres. In wiskundige zin behoudt de vereniging van twee sets dit idee van samenbrengen. Om precies te zijn, de combinatie van twee sets EEN en B is de verzameling van alle elementen X zoals dat X is een onderdeel van de set EEN of X is een onderdeel van de set B. Het woord dat aangeeft dat we een vereniging gebruiken, is het woord 'of'.

Wanneer we het woord 'of' gebruiken in dagelijkse gesprekken, realiseren we ons misschien niet dat dit woord op twee verschillende manieren wordt gebruikt. De weg wordt meestal afgeleid uit de context van het gesprek. Als u werd gevraagd: 'Wilt u de kip of de biefstuk?' de gebruikelijke implicatie is dat je de een of de ander hebt, maar niet allebei. Vergelijk dit met de vraag: "Wil je boter of zure room op je gebakken aardappel?" Hier "of" is gebruikt in de inclusieve zin in die zin dat je alleen boter, alleen zure room of zowel boter als zuur kon kiezen room.

In de wiskunde wordt het woord "of" in de inclusieve zin gebruikt. Dus de verklaring, "X is een onderdeel van EEN of een element van B"betekent dat een van de drie mogelijk is:

• X is een element van rechtvaardig EEN en geen onderdeel van B
• X is een element van rechtvaardig B en geen onderdeel van EEN.
• X is een onderdeel van beide EEN en B. (We zouden dat ook kunnen zeggen X is een onderdeel van het snijpunt van EEN en B

Laten we voor een voorbeeld van hoe de combinatie van twee sets een nieuwe set vormt, de sets beschouwen EEN = {1, 2, 3, 4, 5} en B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Om de vereniging van deze twee sets te vinden, vermelden we eenvoudig elk element dat we zien, en zorgen we ervoor dat we geen elementen dupliceren. De nummers 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 zitten in de ene of de andere set, dus de vereniging van EEN en B is {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.

Naast het begrijpen van de concepten betreffende verzamelingen van verzamelingenleer, is het belangrijk om symbolen te kunnen lezen die worden gebruikt om deze bewerkingen aan te duiden. Het symbool dat wordt gebruikt voor de vereniging van de twee sets EEN en B is gegeven door EEN ∪ B. Een manier om het symbool ∪ dat naar vakbond verwijst te onthouden, is door de gelijkenis met een hoofdletter U op te merken afkorting van het woord "vakbond". Wees voorzichtig, want het symbool voor vereniging lijkt erg op het symbool voor kruising. Het ene wordt van het andere verkregen door een verticale flip.

Raadpleeg het bovenstaande voorbeeld om deze notatie in actie te zien. Hier hadden we de sets EEN = {1, 2, 3, 4, 5} en B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Dus we zouden de vaste vergelijking schrijven EEN ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }.

Een basisidentiteit waarbij de vereniging betrokken is, laat ons zien wat er gebeurt als we de vereniging van een set met de lege set nemen, aangegeven met # 8709. De lege set is de set zonder elementen. Dus het aansluiten op een andere set heeft geen effect. Met andere woorden, de vereniging van elke set met de lege set geeft ons de originele set terug

Deze identiteit wordt nog compacter door het gebruik van onze notatie. We hebben de identiteit: EEN ∪ ∅ = EEN.

Voor het andere uiterste, wat gebeurt er als we de vereniging van een set met de universele set? Aangezien de universele set elk element bevat, kunnen we hier niets anders aan toevoegen. Dus de eenheid of elke set met de universele set is de universele set.

Nogmaals, onze notatie helpt ons om deze identiteit in een compacter formaat uit te drukken. Voor elke set EEN en de universele set U, EEN ∪ U = U.

Er zijn veel meer vaste identiteiten die het gebruik van de vakbondsoperatie inhouden. Natuurlijk is het altijd goed om praktijk met behulp van de taal van de verzamelingenleer. Enkele van de belangrijkste worden hieronder vermeld. Voor alle sets EEN, en B en D wij hebben:

• Reflexieve eigenschap: EEN ∪ EEN =EEN
• Gemeenschappelijk eigendom: EEN ∪ B = B ∪ EEN
• Associatief eigendom: (EEN ∪ B) ∪ D =EEN ∪ (B ∪ D)
• DeMorgan's Law I: (EEN ∩ B)^C = EEN^C ∪ B^C
• DeMorgan's Law II: (EEN ∪ B)^C = EEN^C ∩ B^C