Na het zien van formules die in een leerboek zijn afgedrukt of door een leraar op het bord zijn geschreven, is het soms verrassend om te ontdekken dat veel van deze formules kunnen worden afgeleid van enkele fundamentele definities en zorgvuldig nadenken. Dit geldt met name in de waarschijnlijkheid bij het onderzoeken van de formule voor combinaties. De afleiding van deze formule berust eigenlijk alleen op het vermenigvuldigingsprincipe.
Het vermenigvuldigingsprincipe
Stel dat er een taak moet worden uitgevoerd en deze taak bestaat uit een totaal van twee stappen. De eerste stap kan worden gedaan in k manieren en de tweede stap kan worden gedaan in n manieren. Dit betekent dat na vermenigvuldigen deze getallen samen, is het aantal manieren om de taak uit te voeren nk.
Als je bijvoorbeeld tien soorten ijs hebt om uit te kiezen en drie verschillende toppings, hoeveel één lepel, één topping ijscoupes kun je maken? Vermenigvuldig drie met 10 om 30 ijscoupes te krijgen.
Permutaties vormen
Gebruik nu het vermenigvuldigingsprincipe om de formule af te leiden voor het aantal combinaties van
r elementen uit een set van n elementen. Laat P (n, r) geeft het aantal aan permutaties van r elementen uit een set van n en C (n, r) geeft het aantal combinaties van aan r elementen uit een set van n elementen.Denk na over wat er gebeurt bij het vormen van een permutatie van r elementen uit een totaal van n. Zie dit als een proces in twee stappen. Kies eerst een set van r elementen uit een set van n. Dit is een combinatie en die zijn er C(n, r) manieren om dit te doen. De tweede stap in het proces is om te bestellen r elementen met r keuzes voor de eerste, r - 1 keuzes voor de tweede, r - 2 voor de derde, 2 keuzes voor de voorlaatste en 1 voor de laatste. Door het vermenigvuldigingsprincipe zijn er r x (r -1) x... x 2 x 1 = r! manieren om dit te doen. Deze formule is geschreven met faculteit notatie.
De afleiding van de formule
Samenvatten, P(n,r ), het aantal manieren om een permutatie van te vormen r elementen uit een totaal van n wordt bepaald door:
- Een combinatie vormen van r elementen uit een totaal van n in een van C(n,r ) manieren
- Deze bestellen r elementen een van r! manieren.
Volgens het vermenigvuldigingsprincipe is het aantal manieren om een permutatie te vormen P(n,r ) = C(n,r ) x r!.
De formule gebruiken voor permutaties P(n,r ) = n!/(n - r)!, die in de bovenstaande formule kan worden vervangen:
n!/(n - r)! = C(n,r ) r!.
Los dit nu op, het aantal combinaties, C(n,r ), en zie dat C(n,r ) = n!/[r!(n - r)!].
Zoals aangetoond, kunnen een beetje gedachte en algebra een lange weg gaan. Andere formules in waarschijnlijkheid en statistieken kunnen ook worden afgeleid met enkele zorgvuldige toepassing van definities.