Wat zijn de wetten van De Morgan?

Wiskundige statistiek vereist soms het gebruik van verzamelingenleer. De wetten van De Morgan zijn twee verklaringen die de interacties tussen verschillende verzamelingen van verzamelingenleer beschrijven. De wetten zijn dat voor elke twee sets EEN en B.:

1. (EEN ∩ B.)^C = EEN^C U B.^C.
2. (EEN U B.)^C = EEN^C ∩ B.^C.

Nadat we hebben uitgelegd wat elk van deze uitspraken betekent, zullen we een voorbeeld bekijken van elk van deze uitspraken.

Om te begrijpen wat de wetten van De Morgan zeggen, moeten we enkele definities van verzamelingenleeroperaties in herinnering brengen. We moeten met name op de hoogte zijn van de unie en kruispunt van twee sets en de aanvulling van een set.

De wetten van De Morgan hebben betrekking op de interactie van de vakbond, kruising en complement. Herhaal dat:

• Het snijpunt van de sets EEN en B. bestaat uit alle elementen die beide gemeen hebben EEN en B.. De kruising wordt aangegeven met EEN ∩ B..
• De vereniging van de sets EEN en B. bestaat uit alle elementen die in beide
  instagram viewer
  EEN of B., inclusief de elementen in beide sets. De kruising wordt aangegeven met A U B.
• Het complement van de set EEN bestaat uit alle elementen die geen elementen zijn van EEN. Dit complement wordt aangegeven met A^C.

Nu we deze elementaire operaties hebben teruggeroepen, zullen we de verklaring van De Morgan's wetten zien. Voor elk paar sets EEN en B. wij hebben:

1. (EEN ∩ B.)^C = EEN^C U B.^C
2. (EEN U B.)^C = EEN^C ∩ B.^C

Deze twee verklaringen kunnen worden geïllustreerd door het gebruik van Venn-diagrammen. Zoals hieronder te zien is, kunnen we demonstreren door een voorbeeld te gebruiken. Om aan te tonen dat deze beweringen waar zijn, moeten we bewijs ze door definities van set-theorie-bewerkingen te gebruiken.

Overweeg bijvoorbeeld de set van echte getallen van 0 tot 5. We schrijven dit in intervalnotatie [0, 5]. Binnen deze set hebben we EEN = [1, 3] en B. = [2, 4]. Bovendien hebben we na het toepassen van onze elementaire bewerkingen:

• Het complement EEN^C = [0, 1) U (3, 5]
• Het complement B.^C = [0, 2) U (4, 5]
• De vakbond EEN U B. = [1, 4]
• Het kruispunt EEN ∩ B. = [2, 3]

We beginnen met het berekenen van de unie EEN^C U B.^C. We zien dat de vereniging van [0, 1) U (3, 5] met [0, 2) U (4, 5] [0, 2) U (3, 5] is. Het kruispunt EEN ∩ B. is [2, 3]. We zien dat het complement van deze set [2, 3] ook [0, 2) U (3, 5] is. Op deze manier hebben we dat aangetoond EEN^C U B.^C = (EEN ∩ B.)^C.

Nu zien we het snijpunt van [0, 1) U (3, 5] met [0, 2) U (4, 5] is [0, 1) U (4, 5]. We zien ook dat het complement van [1, 4] ook [0, 1) U (4, 5] is. Op deze manier hebben we dat aangetoond EEN^C ∩ B.^C = (EEN U B.)^C.

Gedurende de geschiedenis van de logica, mensen zoals Aristoteles en William of Ockham hebben verklaringen afgelegd die gelijkwaardig zijn aan de wetten van De Morgan.

De wetten van De Morgan zijn vernoemd naar Augustus De Morgan, die leefde van 1806-1871. Hoewel hij deze wetten niet ontdekte, was hij de eerste die deze verklaringen formeel introduceerde met behulp van een wiskundige formulering in propositionele logica.