Vertrouwensinterval voor een gemiddelde wanneer we Sigma kennen

In inferentiële statistieken, een van de belangrijkste doelen is om een ​​onbekende te schatten bevolkingparameter. Je begint met een statistische steekproefen hieruit kunt u een bereik van waarden voor de parameter bepalen. Dit waardenbereik wordt a genoemd Betrouwbaarheidsinterval.

Vertrouwensintervallen zijn allemaal op een aantal manieren vergelijkbaar met elkaar. Ten eerste hebben veel tweezijdige betrouwbaarheidsintervallen dezelfde vorm:

Schatting ± Foutmarge

Ten tweede zijn de stappen voor het berekenen van betrouwbaarheidsintervallen erg vergelijkbaar, ongeacht het type betrouwbaarheidsinterval dat u probeert te vinden. Het specifieke type betrouwbaarheidsinterval dat hieronder wordt onderzocht, is een tweezijdig betrouwbaarheidsinterval voor een populatiegemiddelde wanneer u de populatie kent standaardafwijking. Neem ook aan dat u met een populatie werkt normaal verdeeld.

Hieronder is een proces om het gewenste betrouwbaarheidsinterval te vinden. Hoewel alle stappen belangrijk zijn, is de eerste vooral:

1. Controleer voorwaarden: Begin met ervoor te zorgen dat aan de voorwaarden voor uw betrouwbaarheidsinterval is voldaan. Stel dat u de waarde kent van de standaarddeviatie van de populatie, aangegeven met de Griekse brief sigma σ. Neem ook een normale verdeling aan.
2. Bereken schatting: Schat de populatieparameter - in dit geval het populatiegemiddelde - met behulp van een statistiek, wat in dit probleem het steekproefgemiddelde is. Dit omvat het vormen van een eenvoudig willekeurig monster van de bevolking. Soms kunt u veronderstellen dat uw steekproef een is eenvoudig willekeurig monster, zelfs als het niet aan de strikte definitie voldoet.
3. Kritische waarde: De kritieke waarde verkrijgen z^* dat komt overeen met uw zelfvertrouwen. Deze waarden worden gevonden door een te raadplegen tabel met z-scores of door de software te gebruiken. U kunt een z-scoretabel gebruiken omdat u de waarde van de standaarddeviatie van de populatie kent en u ervan uitgaat dat de populatie normaal is verdeeld. Veelvoorkomende kritische waarden zijn 1.645 voor een betrouwbaarheidsniveau van 90 procent, 1.960 voor een betrouwbaarheidsniveau van 95 procent en 2.576 voor een betrouwbaarheidsniveau van 99 procent.
4. Foutmarge: Bereken de foutmarge z^* σ /√nwaar n is de grootte van de eenvoudige willekeurige steekproef die u hebt gevormd.
5. Concluderen: Voltooi door de schatting en foutmarge samen te stellen. Dit kan als een van beide worden uitgedrukt Schatting ± Foutmarge of als Schatting - foutmarge naar Schatting + foutmarge. Zorg ervoor dat u duidelijk aangeeft het niveau van vertrouwen die is gekoppeld aan uw betrouwbaarheidsinterval.

Doorloop een voorbeeld om te zien hoe u een betrouwbaarheidsinterval kunt samenstellen. Stel dat u weet dat de IQ-scores van alle inkomende hogeschoolstudenten normaal worden verdeeld met een standaarddeviatie van 15. Je hebt een eenvoudige willekeurige steekproef van 100 eerstejaars, en de gemiddelde IQ-score voor deze steekproef is 120. Zoek een betrouwbaarheidsinterval van 90 procent voor de gemiddelde IQ-score voor de hele populatie van inkomende eerstejaarsstudenten.

Doorloop de stappen die hierboven zijn beschreven:

1. Controleer voorwaarden: Aan de voorwaarden is voldaan omdat u te horen heeft gekregen dat de standaarddeviatie van de populatie 15 is en dat u te maken hebt met een normale verdeling.
2. Bereken schatting: Er is u verteld dat u een eenvoudige steekproef van maat 100 heeft. Het gemiddelde IQ voor dit monster is 120, dus dit is uw schatting.
3. Kritische waarde: De kritische waarde voor het betrouwbaarheidsniveau van 90 procent wordt gegeven door z^* = 1.645.
4. Foutmarge: Gebruik de foutmargeformule en krijg een fout van z^* σ /√n = (1.645)(15) /√(100) = 2.467.
5. Concluderen: Sluit af door alles samen te voegen. Een betrouwbaarheidsinterval van 90 procent voor de gemiddelde IQ-score van de populatie is 120 ± 2.467. Als alternatief kunt u dit betrouwbaarheidsinterval aangeven als 117.5325 tot 122.4675.

Vertrouwensintervallen van het bovenstaande type zijn niet erg realistisch. Het is zeer zeldzaam om de standaarddeviatie van de populatie te kennen, maar niet om het populatiegemiddelde te kennen. Er zijn manieren waarop deze onrealistische veronderstelling kan worden verwijderd.

Hoewel je een normale verdeling hebt aangenomen, hoeft deze veronderstelling niet te worden overgenomen. Leuke monsters, die niet sterk zijn scheefheid of uitbijters hebben, samen met een voldoende grote steekproefgrootte, kunt u de centrale limietstelling. Daarom bent u gerechtigd om een ​​tabel met z-scores te gebruiken, zelfs voor populaties die normaal niet worden verdeeld.