Statistische steekproeven kan op verschillende manieren worden gedaan. Naast het type steekproefmethode dat we gebruiken, is er nog een vraag met betrekking tot wat er specifiek gebeurt met een persoon die we willekeurig hebben geselecteerd. Deze vraag die zich voordoet bij het nemen van steekproeven is: "Nadat we een persoon hebben geselecteerd en de meting van het attribuut dat we bestuderen vastleggen, wat doen we met de persoon?"
Er zijn twee opties:
- We kunnen het individu terugplaatsen in het zwembad waarvan we bemonsteren.
- We kunnen ervoor kiezen om het individu niet te vervangen.
We kunnen heel gemakkelijk zien dat deze tot twee verschillende situaties leiden. In de eerste optie laat vervanging de mogelijkheid open dat het individu willekeurig een tweede keer wordt gekozen. Voor de tweede optie, als we zonder vervanging werken, is het onmogelijk om dezelfde persoon twee keer te kiezen. We zullen zien dat dit verschil de berekening van waarschijnlijkheden met betrekking tot deze steekproeven zal beïnvloeden.
Effect op waarschijnlijkheden
Bekijk de volgende voorbeeldvraag om te zien hoe we omgaan met vervanging. Wat is de kans om twee azen te trekken uit a standaard kaartspel?
Deze vraag is dubbelzinnig. Wat gebeurt er als we de eerste kaart trekken? Gooien we het terug in het dek of laten we het weg?
We beginnen met het berekenen van de waarschijnlijkheid bij vervanging. Er zijn vier azen en 52 kaarten in totaal, dus de kans om één aas te trekken is 4/52. Als we deze kaart vervangen en opnieuw tekenen, is de kans opnieuw 4/52. Deze gebeurtenissen zijn onafhankelijk, dus we vermenigvuldigen de kansen (4/52) x (4/52) = 1/169, of ongeveer 0,592%.
Nu zullen we dit vergelijken met dezelfde situatie, behalve dat we de kaarten niet vervangen. De kans om een aas te trekken bij de eerste trekking is nog steeds 4/52. Voor de tweede kaart gaan we ervan uit dat er al een aas is getrokken. We moeten nu een voorwaardelijke kans berekenen. Met andere woorden, we moeten weten wat de kans is om een tweede aas te trekken, aangezien de eerste kaart ook een aas is.
Er zijn nu nog drie azen over van in totaal 51 kaarten. Dus de voorwaardelijke kans op een tweede aas na het trekken van een aas is 3/51. De kans om twee azen te trekken zonder vervanging is (4/52) x (3/51) = 1/221, of ongeveer 0,425%.
We zien direct uit het bovenstaande probleem dat wat we met vervanging willen doen, van invloed is op de waarden van waarschijnlijkheden. Het kan deze waarden aanzienlijk veranderen.
Populatie Maten
Er zijn enkele situaties waarin bemonstering met of zonder vervanging de waarschijnlijkheid niet substantieel verandert. Stel dat we willekeurig twee mensen kiezen uit een stad met 50.000 inwoners, waarvan 30.000 vrouwen.
Als we steekproeven nemen met vervanging, wordt de kans om een vrouw te kiezen bij de eerste selectie gegeven door 30000/50000 = 60%. De kans op een vrouw bij de tweede selectie is nog steeds 60%. De kans dat beide mensen vrouw zijn, is 0,6 x 0,6 = 0,36.
Als we bemonsteren zonder vervanging, wordt de eerste waarschijnlijkheid niet beïnvloed. De tweede kans is nu 29999/49999 = 0,5999919998..., wat extreem dicht bij 60% ligt. De kans dat beide vrouwen zijn, is 0,6 x 0,5999919998 = 0,359995.
De kansen zijn technisch verschillend, maar ze zijn dichtbij genoeg om bijna niet van elkaar te onderscheiden. Om deze reden behandelen we de selectie van elk individu vaak, ook al nemen we monsters zonder vervanging, alsof ze onafhankelijk zijn van de andere individuen in het monster.
Andere applicaties
Er zijn andere gevallen waarin we moeten overwegen of we met of zonder vervanging willen bemonsteren. Een voorbeeld hiervan is bootstrapping. Deze statistische techniek valt onder de noemer van een bemonsteringstechniek.
Bij bootstrapping beginnen we met een statistische steekproef van een populatie. We gebruiken vervolgens computersoftware om bootstrap-voorbeelden te berekenen. Met andere woorden, de computer neemt opnieuw monsters met vervanging van het oorspronkelijke monster.