Wiskundige eigenschappen van golven

Fysieke golven, of mechanische golven, vorm door de vibratie van een medium, of het nu een snaar is, de aardkorst of deeltjes van gassen en vloeistoffen. Golven hebben wiskundige eigenschappen die kunnen worden geanalyseerd om de beweging van de golf te begrijpen. Dit artikel introduceert deze algemene golfeigenschappen, in plaats van hoe ze in specifieke fysische situaties kunnen worden toegepast.

Er zijn twee soorten mechanische golven.

A is zodanig dat de verplaatsingen van het medium loodrecht (dwars) staan ​​op de bewegingsrichting van de golf langs het medium. Een snaar in periodieke beweging laten trillen, zodat de golven er langs bewegen, is een transversale golf, net als golven in de oceaan.

EEN lengtegolf is zodanig dat de verplaatsingen van het medium heen en weer gaan in dezelfde richting als de golf zelf. Geluidsgolven, waarbij de luchtdeeltjes in de rijrichting worden voortgeduwd, is een voorbeeld van een longitudinale golf.

Hoewel de golven die in dit artikel worden besproken, verwijzen naar reizen in een medium, kan de hier geïntroduceerde wiskunde worden gebruikt om eigenschappen van niet-mechanische golven te analyseren. Elektromagnetische straling kan bijvoorbeeld door lege ruimte reizen, maar heeft nog steeds dezelfde wiskundige eigenschappen als andere golven. Bijvoorbeeld de

1. Golven kunnen worden gezien als een storing in het medium rond een evenwichtstoestand, die over het algemeen in rust is. De energie van deze storing veroorzaakt de golfbeweging. Een plas water is in evenwicht wanneer er geen golven zijn, maar zodra er een steen in wordt gegooid, wordt het evenwicht van de deeltjes verstoord en begint de golfbeweging.
2. De verstoring van de golf reist, of propogates, met een bepaalde snelheid, de zogenaamde golfsnelheid (v).
3. Golven transporteren energie, maar dat maakt niet uit. Het medium zelf reist niet; de individuele deeltjes ondergaan heen en weer of op en neer beweging rond de evenwichtspositie.

Om golfbeweging wiskundig te beschrijven, verwijzen we naar het concept van a Golf functie, die de positie van een deeltje in het medium op elk moment beschrijft. De meest elementaire golffuncties is de sinusgolf of sinusgolf, die een is periodieke golf (d.w.z. een golf met herhaalde beweging).

Het is belangrijk op te merken dat de golffunctie niet de fysieke golf weergeeft, maar eerder een grafiek van de verplaatsing rond de evenwichtspositie. Dit kan een verwarrend concept zijn, maar het nuttige is dat we een sinusvormige golf kunnen gebruiken om het meest periodiek weer te geven bewegingen, zoals in een cirkel bewegen of met een slinger zwaaien, die er niet noodzakelijkerwijs golfachtig uitzien als je de werkelijkheid bekijkt beweging.

• golfsnelheid (v) - de snelheid van de voortplanting van de golf
• amplitude (EEN) - de maximale grootte van de verplaatsing vanuit evenwicht, in SI-eenheden van meters. Over het algemeen is het de afstand van het evenwichtsmiddenpunt van de golf tot zijn maximale verplaatsing, of het is de helft van de totale verplaatsing van de golf.
• periode (T) - is de tijd voor één golfcyclus (twee pulsen, of van top tot top of van dal tot dal), in SI-eenheden van seconden (hoewel dit ook wel "seconden per cyclus" kan worden genoemd).
• frequentie (f) - het aantal cycli in een tijdseenheid. De SI-frequentie-eenheid is de hertz (Hz) en

  1 Hz = 1 cyclus / s = 1 s^-1

• hoekfrequentie (ω) - is 2π maal de frequentie, in SI-eenheden van radialen per seconde.
• golflengte (λ) - de afstand tussen twee willekeurige punten op overeenkomstige posities op opeenvolgende herhalingen in de golf, dus (bijvoorbeeld) van de ene top of dal naar de volgende, in SI eenheden meter.
• golf nummer (k) - ook wel de voortplantingsconstantewordt deze nuttige hoeveelheid gedefinieerd als 2 π gedeeld door de golflengte, dus de SI-eenheden zijn radialen per meter.
• pols - een halve golflengte, vanaf evenwicht terug

Enkele nuttige vergelijkingen bij het definiëren van de bovenstaande hoeveelheden zijn:

v = λ / T = λ f

ω = 2 π f = 2 π/T

T = 1 / f = 2 π/ω

k = 2π/ω

ω = vk

De verticale positie van een punt op de golf, y, kan worden gevonden als een functie van de horizontale positie, X, en de tijd, t, als we ernaar kijken. We bedanken de aardige wiskundigen voor het doen van dit werk voor ons en verkrijgen de volgende nuttige vergelijkingen om de golfbeweging te beschrijven:

y(x, t) = EEN zonde ω(t - X/v) = EEN zonde 2π f(t - X/v)

y(x, t) = EEN zonde 2π(t/T - X/v)

y (x, t) = EEN zonde (ω t - kx)

Een laatste kenmerk van de golffunctie is het toepassen calculus het nemen van de tweede afgeleide levert de golfvergelijking, wat een intrigerend en soms nuttig product is (dat, nogmaals, we zullen de wiskundigen bedanken voor en accepteren zonder het te bewijzen):

d²y / dx² = (1 / v²) d²y / dt²

De tweede afgeleide van y rekeninghoudend met X is gelijk aan de tweede afgeleide van y rekeninghoudend met t gedeeld door de golfsnelheid in het kwadraat. Het belangrijkste nut van deze vergelijking is dat wanneer het voorkomt, weten we dat de functie y werkt als een golf met golfsnelheid v en daarom, de situatie kan worden beschreven met de golffunctie.