Kenmerken van een echt nummer

Wat is een nummer? Dat hangt ervan af. Er zijn verschillende soorten nummers, elk met hun eigen specifieke eigenschappen. Een soort nummer waarop statistieken, waarschijnlijkheid, en veel van de wiskunde is daarop gebaseerd, wordt een reëel getal genoemd.

Om te leren wat een echt nummer is, zullen we eerst een korte rondleiding door andere soorten nummers maken.

We leren eerst over getallen om te tellen. We zijn begonnen met het matchen van de nummers 1, 2 en 3 met onze vingers. Daarna gingen we zo hoog als we konden, wat waarschijnlijk niet zo hoog was. Deze telgetallen of natuurlijke getallen waren de enige getallen die we kenden.

Later, als het gaat om aftrekken, negatief hele getallen werden ingevoerd. De reeks positieve en negatieve gehele getallen wordt de reeks gehele getallen genoemd. Kort daarna werden rationele getallen, ook wel breuken genoemd, overwogen. Aangezien elk geheel getal kan worden geschreven als een breuk met 1 in de noemer, zeggen we dat de gehele getallen een subset van de rationale getallen vormen.

De oud Grieks realiseerde zich dat niet alle getallen als een breuk kunnen worden gevormd. De vierkantswortel van 2 kan bijvoorbeeld niet worden uitgedrukt als een breuk. Dit soort getallen worden irrationele getallen genoemd. Irrationele getallen zijn er in overvloed, en enigszins verrassend zijn er in zekere zin meer irrationele getallen dan rationele getallen. Andere irrationele cijfers zijn onder meer pi en e.

Elk reëel getal kan als decimaal worden geschreven. Verschillende soorten reële getallen hebben verschillende soorten decimale uitbreidingen. De decimale uitbreiding van een rationeel getal eindigt, zoals 2, 3,25 of 1,2342, of herhaalt, zoals 0,3333.. . Of .123123123.. . In tegenstelling hiermee is de decimale uitbreiding van een irrationeel getal niet-eindigend en niet-herhalend. We kunnen dit zien in de decimale uitbreiding van pi. Er is een eindeloze reeks cijfers voor pi, en bovendien is er geen reeks cijfers die zichzelf voor onbepaalde tijd herhaalt.

De reële getallen kunnen worden gevisualiseerd door ze allemaal te associëren met een van het oneindige aantal punten langs een rechte lijn. De reële getallen hebben een volgorde, wat betekent dat we voor twee verschillende reële getallen kunnen zeggen dat de ene groter is dan de andere. Volgens afspraak komt het naar links bewegen op de reële getallenlijn overeen met steeds kleinere getallen. Naar rechts bewegen langs de reële getallenlijn komt overeen met steeds grotere getallen.

De echte getallen gedragen zich als andere getallen waar we aan gewend zijn. We kunnen ze optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen (zolang we niet delen door nul). De volgorde van optellen en vermenigvuldigen is niet belangrijk, omdat er een commutatieve eigenschap is. Een distributieve eigenschap vertelt ons hoe vermenigvuldiging en optelling met elkaar in wisselwerking staan.

Zoals eerder vermeld, hebben de echte cijfers een volgorde. Gegeven twee reële getallen X en y, we weten dat één van de volgende waar is:

X = y, X < y of X > y.

De eigenschap die de reële getallen onderscheidt van andere reeksen getallen, zoals de rationals, is een eigenschap die bekend staat als volledigheid. Volledigheid is een beetje technisch om uit te leggen, maar het intuïtieve idee is dat de verzameling rationele getallen hiaten bevat. De set echte getallen heeft geen hiaten, omdat deze compleet is.

Ter illustratie zullen we kijken naar de volgorde van rationale getallen 3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415,. .. Elke term van deze reeks is een benadering van pi, verkregen door de decimale expansie voor pi in te korten. De termen van deze reeks komen steeds dichter bij pi. Maar zoals we al zeiden, is pi geen rationeel getal. We moeten irrationele getallen gebruiken om de gaten in de getallenlijn die zich voordoen in te pluggen door alleen naar de rationele getallen te kijken.

Het mag geen verrassing zijn dat er oneindig veel reële getallen zijn. Dit is vrij gemakkelijk te zien als we bedenken dat hele getallen een subset vormen van de echte getallen. We konden dit ook zien door te beseffen dat de getallenlijn een oneindig aantal punten heeft.

Wat verrassend is, is dat de oneindigheid die wordt gebruikt om de echte getallen te tellen van een andere soort is dan de oneindigheid die wordt gebruikt om de hele getallen te tellen. Gehele getallen, gehele getallen en rationelen zijn oneindig te tellen. Het aantal reële getallen is oneindig oneindig.

Echte getallen krijgen hun naam om ze te onderscheiden van een nog verdere veralgemening van het concept van getallen. Het denkbeeldige nummer ik is gedefinieerd als de vierkantswortel van de negatieve. Elk reëel getal vermenigvuldigd met ik staat ook bekend als een denkbeeldig getal. Denkbeeldige getallen rekken zeker onze opvatting van getal uit, aangezien ze helemaal niet zijn waar we aan dachten toen we voor het eerst leerden tellen.