Veelvoorkomende voorbeelden van ontelbare sets

Niet alle oneindige sets zijn hetzelfde. Een manier om onderscheid te maken tussen deze sets is door te vragen of de set telbaar is eindeloos of niet. Op deze manier zeggen we dat oneindige sets telbaar of ontelbaar zijn. We zullen verschillende voorbeelden van oneindige sets bekijken en bepalen welke hiervan ontelbaar zijn.

We beginnen met het uitsluiten van verschillende voorbeelden van oneindige sets. Veel van de oneindige sets die we onmiddellijk zouden bedenken, blijken ontelbaar oneindig te zijn. Dit betekent dat ze in een één-op-één correspondentie met de natuurlijke nummers kunnen worden geplaatst.

De natuurlijke getallen, gehele getallen en rationele getallen zijn allemaal telbaar oneindig. Elke vereniging of kruising van oneindig veel sets is ook telbaar. Het Cartesiaanse product van een willekeurig aantal telbare sets is telbaar. Elke subset van een telbare set is ook telbaar.

De meest gebruikelijke manier waarop ontelbare sets worden geïntroduceerd, is door het interval (0, 1) van te beschouwen

De hele reeks echte cijfers is ook niet te tellen. Een manier om dit te laten zien, is door de één-op-één tangensfunctie te gebruiken f ( X ) = bruin X. Het domein van deze functie is het interval (-π / 2, π / 2), een ontelbare set en het bereik is de set van alle reële getallen.

De bewerkingen van de basisset-theorie kunnen worden gebruikt om meer voorbeelden van ontelbare oneindige sets te produceren:

• Als EEN is een subset van B en EEN is ontelbaar, zo is het ook B. Dit levert een eenvoudiger bewijs op dat de hele set reële getallen niet te tellen is.
• Als EEN is ontelbaar en B is een set, dan is de vakbond EEN U B is ook ontelbaar.
• Als EEN is ontelbaar en B is een set, dan is het Cartesiaanse product EEN X B is ook ontelbaar.
• Als EEN is oneindig (zelfs telbaar oneindig) dan de vermogen ingesteld van EEN is ontelbaar.

Twee andere voorbeelden, die met elkaar verband houden, zijn enigszins verrassend. Niet elke subset van de reële getallen is oneindig oneindig (inderdaad, de rationele getallen vormen een telbare subset van de realen die ook dicht is). Bepaalde subsets zijn oneindig oneindig.

Een van deze ontelbaar oneindige subsets heeft betrekking op bepaalde soorten decimale uitbreidingen. Als we twee cijfers kiezen en elke mogelijke decimale uitbreiding vormen met alleen deze twee cijfers, dan is de resulterende oneindige verzameling ontelbaar.

Een andere set is ingewikkelder om te bouwen en is ook niet te tellen. Begin met het gesloten interval [0,1]. Verwijder het middelste derde deel van deze set, wat resulteert in [0, 1/3] U [2/3, 1]. Verwijder nu het middelste derde van elk van de resterende stukjes van de set. Dus (1/9, 2/9) en (7/9, 8/9) is verwijderd. We gaan op deze manier verder. De reeks punten die overblijft nadat al deze intervallen zijn verwijderd, is geen interval, maar is oneindig oneindig. Deze set heet de Cantor Set.

Er zijn oneindig veel ontelbare sets, maar de bovenstaande voorbeelden zijn enkele van de meest voorkomende sets.