Koppel berekenen met voorbeelden

Bij het bestuderen hoe objecten roteren, wordt het snel nodig om erachter te komen hoe een gegeven kracht resulteert in een verandering in de rotatiebeweging. De neiging van een kracht om rotatiebeweging te veroorzaken of te veranderen wordt genoemd koppel, en het is een van de belangrijkste concepten om te begrijpen bij het oplossen van rotatiebewegingssituaties.

Koppel (ook moment genoemd - meestal door ingenieurs) wordt berekend door kracht en afstand te vermenigvuldigen. De SI eenheden van het koppel zijn newton-meters of N * m (hoewel deze eenheden hetzelfde zijn als die van Joules, is het koppel geen werk of energie, dus zou het gewoon newton-meters moeten zijn).

In berekeningen wordt het koppel voorgesteld door de Griekse letter tau: τ.

Koppel is een vector kwantiteit, wat betekent dat het zowel een richting als een grootte heeft. Dit is eerlijk gezegd een van de lastigste onderdelen van het werken met koppel, omdat het wordt berekend met een vectorproduct, wat betekent dat je de rechterregel moet toepassen. Neem in dit geval uw rechterhand en krul de vingers van uw hand in de rotatierichting die door de kracht wordt veroorzaakt. De duim van uw rechterhand wijst nu in de richting van de koppelvector. (Dit kan af en toe een beetje dom aanvoelen, terwijl je je hand omhoog houdt en pantomimeert om dat te doen bereken het resultaat van een wiskundige vergelijking, maar het is de beste manier om de richting van de te visualiseren vector.)

De vectorformule die de koppelvector oplevert τ is:

τ = r × F

De vector r is de positievector met betrekking tot een oorsprong op de rotatieas (deze as is de τ op de afbeelding). Dit is een vector met een grootte van de afstand van waar de kracht wordt uitgeoefend op de rotatieas. Het wijst van de rotatieas naar het punt waar de kracht wordt uitgeoefend.

De grootte van de vector wordt berekend op basis van θ, wat het hoekverschil is tussen r en F, met behulp van de formule:

τ = rFzonde(θ)

Een paar belangrijke punten over de bovenstaande vergelijking, met enkele benchmarkwaarden van θ:

• θ = 0 ° (of 0 radialen) - De krachtvector wijst in dezelfde richting als r. Zoals je zou kunnen raden, is dit een situatie waarbij de kracht geen rotatie rond de as veroorzaakt... en de wiskunde bevestigt dit. Aangezien sin (0) = 0, resulteert deze situatie in τ = 0.
• θ = 180 ° (of π radialen) - Dit is een situatie waarin de krachtvector rechtstreeks naar wijst r. Nogmaals, schuiven in de richting van de rotatieas zal ook geen rotatie veroorzaken en nogmaals, de wiskunde ondersteunt deze intuïtie. Omdat sin (180 °) = 0, is de waarde van het koppel opnieuw τ = 0.
• θ = 90 ° (of π/ 2 radialen) - Hier staat de krachtvector loodrecht op de positievector. Dit lijkt de meest effectieve manier om op het object te drukken om een ​​toename in rotatie te krijgen, maar ondersteunt de wiskunde dit? Nou, sin (90 °) = 1, wat de maximale waarde is die de sinusfunctie kan bereiken, wat een resultaat oplevert van τ = rF. Met andere woorden, een kracht die onder een andere hoek wordt uitgeoefend, zou minder koppel opleveren dan wanneer deze wordt uitgeoefend bij 90 graden.
• Hetzelfde argument als hierboven is van toepassing op gevallen van θ = -90 ° (of -π/ 2 radialen), maar met een waarde van sin (-90 °) = -1 resulterend in het maximale koppel in de tegenovergestelde richting.

Laten we een voorbeeld bekijken waarbij u een verticale kracht naar beneden uitoefent, zoals wanneer u probeert de wielmoeren op een lekke band los te draaien door op de wielsleutel te trappen. In deze situatie is de ideale situatie om de wielsleutel perfect horizontaal te hebben, zodat u erop kunt stappen en het maximale koppel krijgt. Helaas werkt dat niet. In plaats daarvan past de wielmoersleutel op de wielmoeren zodat deze 15% schuin staat ten opzichte van de horizontaal. De wielsleutel is 0,60 m lang tot het einde, waar u uw volledige gewicht van 900 N. toepast.

Wat is de grootte van het koppel?

Hoe zit het met de richting ?: Als u de regel "Lefty-loosey, Righty-tighty" toepast, wilt u de wielmoer naar links draaien - tegen de klok in - om deze los te maken. Gebruik je rechterhand en krul je vingers tegen de klok in, de duim steekt uit. Dus de richting van het koppel is weg van de banden... dat is ook de richting waarin u wilt dat de wielmoeren uiteindelijk gaan.

Om te beginnen met het berekenen van de waarde van het koppel, moet u zich realiseren dat er een enigszins misleidend punt is in de bovenstaande opstelling. (Dit is een veel voorkomend probleem in deze situaties.) Merk op dat de hierboven genoemde 15% de helling van de horizontale lijn is, maar dat is niet de hoek θ. De hoek tussen r en F moet worden berekend. Er is een helling van 15 ° ten opzichte van de horizontaal plus een afstand van 90 ° van de horizontaal tot de neerwaartse krachtvector, resulterend in een totaal van 105 ° als de waarde van θ.

Dat is de enige variabele die moet worden ingesteld, dus met die functie wijzen we gewoon de andere variabele waarden toe:

• θ = 105°
• r = 0,60 m
• F = 900 N

τ = rF zonde(θ) =
(0,60 m) (900 N) sin (105 °) = 540 x 0,097 Nm = 520 Nm

Merk op dat het bovenstaande antwoord betrekking had op het behoud van slechts twee significante cijfers, dus het is afgerond.

De bovenstaande vergelijkingen zijn met name handig wanneer er een enkele bekende kracht op een object werkt, maar die zijn er wel veel situaties waarin een rotatie kan worden veroorzaakt door een kracht die niet gemakkelijk kan worden gemeten (of misschien veel dergelijke) krachten). Hier wordt het koppel vaak niet direct berekend, maar kan het in plaats daarvan worden berekend op basis van het totaal hoekversnelling, α, dat het object ondergaat. Deze relatie wordt gegeven door de volgende vergelijking:

• Στ - De netto som van alle koppel die op het object werkt
• ik - de traagheidsmoment, die de weerstand van het object tegen een verandering in hoeksnelheid weergeeft
• α - hoekversnelling