Berekeningen met de gammafunctie

De gamma-functie wordt gedefinieerd door de volgende ingewikkeld ogende formule:

Γ ( z ) = ∫₀^∞e ^{- t}t^z-1dt

Een vraag die mensen hebben wanneer ze deze verwarrende vergelijking voor het eerst tegenkomen, is: 'Hoe gebruik je deze formule om de waarden van de te berekenen gamma-functie? ' Dit is een belangrijke vraag omdat het moeilijk is om te weten wat deze functie zelfs betekent en wat alle symbolen zijn voor.

Een manier om deze vraag te beantwoorden is door te kijken naar verschillende voorbeeldberekeningen met de gammafunctie. Voordat we dit doen, zijn er een paar dingen uit de calculus die we moeten weten, zoals hoe een onjuiste integraal van type I moet worden geïntegreerd, en dat e is een wiskundige constante.

Voordat we berekeningen uitvoeren, onderzoeken we de motivatie achter deze berekeningen. Vaak verschijnen de gammafuncties achter de schermen. Verschillende waarschijnlijkheidsdichtheidsfuncties worden vermeld in termen van de gammafunctie. Voorbeelden hiervan zijn de gammadistributie en studenten t-distributie, Het belang van de gammafunctie kan niet worden overschat.

De eerste voorbeeldberekening die we zullen bestuderen, is het vinden van de waarde van de gammafunctie voor Γ (1). Dit wordt gevonden door in te stellen z = 1 in de bovenstaande formule:

∫₀^∞e ^{- t}dt

We berekenen de bovenstaande integraal in twee stappen:

• De onbepaalde integraal ∫e ^{- t}dt= -e ^{- t} + C
• Dit is een onjuiste integraal, dus we hebben ∫₀^∞e ^{- t}dt = lim_{b → ∞} -e ^{- b} + e ⁰ = 1

De volgende voorbeeldberekening die we zullen beschouwen is vergelijkbaar met het laatste voorbeeld, maar we verhogen de waarde van z door 1. We berekenen nu de waarde van de gammafunctie voor Γ (2) door in te stellen z = 2 in de bovenstaande formule. De stappen zijn hetzelfde als hierboven:

Γ ( 2 ) = ∫₀^∞e ^{- t}t dt

De onbepaalde integraal ∫te ^{- t}dt=- te ^{- t} -e ^{- t} + C. Hoewel we alleen de waarde van hebben verhoogd z bij 1 kost het meer werk om deze integraal te berekenen. Om deze integraal te vinden, moeten we een techniek uit de calculus gebruiken die bekend staat als integratie door delen. We gebruiken nu de limieten van integratie zoals hierboven en moeten berekenen:

lim_{b → ∞}- zijn ^{- b} -e ^{- b} -0e ⁰ + e ⁰.

Een resultaat van calculus, bekend als de regel van L'Hospital, stelt ons in staat de limietlimiet te berekenen_{b → ∞}- zijn ^{- b} = 0. Dit betekent dat de waarde van onze integraal hierboven 1 is.

Een ander kenmerk van de gammafunctie en een die het verbindt met de faculteit is de formule Γ (z +1 ) =zΓ (z ) voor z elk complex getal met een positief echt een deel. De reden waarom dit waar is, is een direct gevolg van de formule voor de gammafunctie. Door integratie door delen te gebruiken, kunnen we deze eigenschap van de gammafunctie vaststellen.