Wat is het verschil tussen twee sets in de verzamelingenleer?

Het verschil van twee sets, geschreven EEN - B is de verzameling van alle elementen van EEN dat zijn geen elementen van B. Het verschil operatie, samen met unie en kruising, is een belangrijke en werking van fundamentele verzamelingenleer.

Het aftrekken van het ene nummer van het andere kan op veel verschillende manieren worden bedacht. Een model om dit concept te begrijpen, wordt het afhaalmodel van genoemd aftrekken. Hierbij zou het probleem 5 - 2 = 3 worden aangetoond door te beginnen met vijf objecten, twee te verwijderen en te tellen dat er nog drie over waren. Op dezelfde manier dat we het verschil tussen twee getallen vinden, kunnen we het verschil van twee sets vinden.

We zullen kijken naar een voorbeeld van het ingestelde verschil. Om te zien hoe het verschil tussen twee sets vormt een nieuwe set, laten we de sets eens bekijken EEN = {1, 2, 3, 4, 5} en B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Om het verschil te vinden EEN - B van deze twee sets beginnen we met het schrijven van alle elementen van

Net zoals de verschillen 4-7 en 7-4 ons verschillende antwoorden geven, moeten we voorzichtig zijn met de volgorde waarin we het ingestelde verschil berekenen. Om een ​​technische term uit de wiskunde te gebruiken, zouden we zeggen dat de ingestelde werking van het verschil niet commutatief is. Dit betekent dat we over het algemeen de volgorde van het verschil van twee sets niet kunnen wijzigen en hetzelfde resultaat verwachten. We kunnen dat nauwkeuriger zeggen voor alle sets EEN en B, EEN - B is niet gelijk aan B - EEN.

Om dit te zien verwijzen we terug naar het voorbeeld hierboven. Dat hebben we berekend voor de sets EEN = {1, 2, 3, 4, 5} en B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}, het verschil EEN - B = {1, 2 }. Om dit mee te vergelijken B - EEN, we beginnen met de elementen van B, die 3, 4, 5, 6, 7, 8 zijn, en verwijder dan de 3, de 4 en de 5 omdat deze gemeenschappelijk zijn met EEN. Het resultaat is B - EEN = {6, 7, 8 }. Dit voorbeeld laat ons dat duidelijk zien A - B is niet gelijk aan B - A.

Een soort verschil is belangrijk genoeg om zijn eigen speciale naam en symbool te rechtvaardigen. Dit wordt het complement genoemd en wordt gebruikt voor het ingestelde verschil wanneer de eerste set is de universele set. Het complement van EEN wordt gegeven door de uitdrukking U - EEN. Dit verwijst naar de set van alle elementen in de universele set die geen elementen zijn EEN. Aangezien het duidelijk is dat de set elementen waaruit we kunnen kiezen, zijn afkomstig uit de universele set, we kunnen eenvoudig zeggen dat het complement van EEN is de set die bestaat uit elementen die geen elementen zijn van EEN.

Het complement van een set is relatief ten opzichte van de universele set waarmee we werken. Met EEN = {1, 2, 3} en U = {1, 2, 3, 4, 5}, het complement van EEN is {4, 5}. Als onze universele set anders is, zeg dan U = {-3, -2, 0, 1, 2, 3}, dan het complement van EEN {-3, -2, -1, 0}. Let altijd goed op welke universele set wordt gebruikt.

Het woord "complement" begint met de letter C en wordt daarom gebruikt in de notatie. Het complement van de set EEN is geschreven als EEN^C. We kunnen de definitie van het complement dus in symbolen uitdrukken als: EEN^C = U - EEN.

Een andere manier die vaak wordt gebruikt om het complement van een set aan te duiden, is een apostrof en wordt geschreven als EEN'.

Er zijn veel vaste identiteiten die gebruik maken van het verschil en die bewerkingen aanvullen. Sommige identiteiten combineren andere set-bewerkingen zoals de kruising en unie. Enkele van de belangrijkste worden hieronder vermeld. Voor alle sets EEN, en B en D wij hebben:

• EEN - EEN =∅
• EEN - ∅ = EEN
• ∅ - EEN = ∅
• EEN - U = ∅
• (EEN^C)^C = EEN
• DeMorgan's Law I: (EEN ∩ B)^C = EEN^C ∪ B^C
• DeMorgan's Law II: (EEN ∪ B)^C = EEN^C ∩ B^C