Wat is de negatieve binominale verdeling?

De negatieve binominale verdeling is a kansverdeling dat wordt gebruikt met discrete willekeurige variabelen. Dit type distributie betreft het aantal proeven dat moet plaatsvinden om een ​​vooraf bepaald aantal successen te behalen. Zoals we zullen zien, is de negatieve binominale verdeling gerelateerd aan de binominale distributie. Bovendien generaliseert deze verdeling de geometrische verdeling.

We beginnen met te kijken naar zowel de omgeving als de omstandigheden die aanleiding geven tot een negatieve binominale verdeling. Veel van deze aandoeningen lijken erg op een binominale instelling.

1. We hebben een Bernoulli-experiment. Dit betekent dat elke proef die we uitvoeren een welomschreven succes en mislukking heeft en dat dit de enige resultaten zijn.
2. De kans op succes is constant, ongeacht hoe vaak we het experiment uitvoeren. We geven deze constante kans aan met een p.
3. Het experiment wordt herhaald voor X onafhankelijke proeven, wat betekent dat de uitkomst van één proef geen effect heeft op de uitkomst van een volgende proef.

Deze drie voorwaarden zijn identiek aan die in een binominale distributie. Het verschil is dat een binominale willekeurige variabele een vast aantal onderzoeken heeft n. De enige waarden van X zijn 0, 1, 2,..., n, dus dit is een eindige verdeling.

Een negatieve binominale verdeling betreft het aantal proeven X dat moet gebeuren totdat we het hebben r successen. Het nummer r is een geheel getal dat we kiezen voordat we beginnen met het uitvoeren van onze proeven. De willekeurige variabele X is nog steeds discreet. Nu kan de willekeurige variabele echter waarden aannemen X = r, r + 1, r + 2,... Deze willekeurige variabele is oneindig, aangezien het willekeurig lang kan duren voordat we deze verkrijgen r successen.

Om een ​​negatieve binominale verdeling te helpen begrijpen, is het de moeite waard om een ​​voorbeeld te overwegen. Stel dat we een eerlijke munt opgooien en we stellen de vraag: 'Wat is de kans dat we in de eerste drie koppen krijgen X munten omdraaien? 'Dit is een situatie die vraagt ​​om een ​​negatieve binominale verdeling.

De muntflips hebben twee mogelijke uitkomsten, de kans op succes is constant 1/2 en de beproevingen zijn onafhankelijk van elkaar. We vragen naar de kans dat de eerste drie koppen erna komen X munt omdraait. We moeten de munt dus minstens drie keer omdraaien. We blijven dan flippen tot de derde kop verschijnt.

Om waarschijnlijkheden te berekenen die verband houden met een negatieve binominale verdeling, hebben we wat meer informatie nodig. We moeten de waarschijnlijkheidsmassafunctie kennen.

De kansmassafunctie voor een negatieve binominale verdeling kan met een beetje nadenken worden ontwikkeld. Elke proef heeft een slaagkans gegeven door p. Aangezien er slechts twee mogelijke uitkomsten zijn, betekent dit dat de faalkans constant is (1 - p ).

De rHet succes moet optreden voor de Xe en laatste proef. De vorige X - 1 proeven moeten precies bevatten r - 1 successen. Het aantal manieren waarop dit kan gebeuren, wordt gegeven door het aantal combinaties:

C (X - 1, r -1) = (x - 1)! / [(R - 1)! (x - r)!].

Daarnaast hebben we onafhankelijke gebeurtenissen, en dus kunnen we onze kansen samen vermenigvuldigen. Door dit alles samen te voegen, verkrijgen we de kansmassafunctie

f(X) = C (X - 1, r -1) p^r(1 - p)^{X - r}.

We kunnen nu begrijpen waarom deze willekeurige variabele een negatieve binominale verdeling heeft. Het aantal combinaties dat we hierboven tegenkwamen kan anders worden geschreven door in te stellen x - r = k:

(x - 1)! / [(r - 1)! (x - r)!] = (x + k - 1)! / [(R - 1)! k!] = (r + k - 1)(x + k - 2)... (r + 1) (r) /k! = (-1)^k(-r) (- r - 1).. . (- r - (k + 1) / k !.

Hier zien we het uiterlijk van een negatieve binominale coëfficiënt, die wordt gebruikt wanneer we een binominale uitdrukking (a + b) tot een negatieve macht verheffen.

Het gemiddelde van een verdeling is belangrijk om te weten, omdat het een manier is om het midden van de verdeling aan te duiden. Het gemiddelde van dit type willekeurige variabele wordt gegeven door de verwachte waarde en is gelijk aan r / p. We kunnen dit zorgvuldig bewijzen door gebruik te maken van de moment genererende functie voor deze distributie.

Intuïtie leidt ons ook naar deze uitdrukking. Stel dat we een reeks proeven uitvoeren n₁ totdat we verkrijgen r successen. En dan doen we dit opnieuw, alleen deze keer duurt het n₂ beproevingen. We gaan hier steeds weer mee door, totdat we een groot aantal groepen proeven hebben N = n₁ + n₂ +... +n_k.

Elk van deze k proeven bevat r successen, en dus hebben we in totaal kr successen. Als N is groot, dan zouden we er over zien Np successen. Dus we stellen deze samen en hebben kr = Np.

We doen wat algebra en vinden dat N / k = r / p. De breuk aan de linkerkant van deze vergelijking is het gemiddelde aantal proeven dat nodig is voor elk van onze k groepen proeven. Met andere woorden, dit is het verwachte aantal keren dat het experiment moet worden uitgevoerd, zodat we een totaal hebben van r successen. Dit is precies de verwachting die we willen vinden. We zien dat dit gelijk is aan de formule r / p.

De variantie van de negatieve binominale verdeling kan ook worden berekend met behulp van de momentgenererende functie. Wanneer we dit doen, zien we dat de variantie van deze verdeling wordt gegeven door de volgende formule:

r (1 - p)/p²

De momentgenererende functie voor dit type willekeurige variabele is behoorlijk ingewikkeld. Bedenk dat de momentgenererende functie is gedefinieerd als de verwachte waarde E [e^TX]. Door deze definitie te gebruiken met onze waarschijnlijkheidsmassafunctie, hebben we:

M (t) = E [e^TX] = Σ (x - 1)! / [(R - 1)! (x - r)!] e^TXp^r(1 - p)^{X - r}

Na wat algebra wordt dit M (t) = (pe^t)^r[1- (1- p) e^t]^-r

We hebben hierboven gezien hoe de negatieve binominale distributie op veel manieren vergelijkbaar is met de binominale distributie. Naast deze verbinding is de negatieve binominale verdeling een meer algemene versie van een geometrische verdeling.

Een geometrische willekeurige variabele X telt het aantal proeven dat nodig is voordat het eerste succes zich voordoet. Het is gemakkelijk te zien dat dit precies de negatieve binominale verdeling is, maar met r gelijk aan één.

Er bestaan ​​andere formuleringen van de negatieve binominale verdeling. Sommige leerboeken definiëren X het aantal proeven tot r mislukkingen optreden.

We zullen een voorbeeldprobleem bekijken om te zien hoe te werken met de negatieve binominale verdeling. Stel dat een basketbalspeler een 80% vrije worpschieter is. Ga er verder van uit dat het maken van een vrije worp onafhankelijk is van het maken van de volgende. Hoe groot is de kans dat voor deze speler de achtste basket wordt gemaakt bij de tiende vrije worp?

We zien dat we een instelling hebben voor een negatieve binominale verdeling. De constante kans op succes is 0,8 en dus de kans op mislukking is 0,2. We willen de waarschijnlijkheid van X = 10 bepalen als r = 8.

We voegen deze waarden toe aan onze kansmassafunctie:

f (10) = C (10-1, 8 - 1) (0,8)⁸(0.2)²= 36(0.8)⁸(0.2)², dat is ongeveer 24%.

We kunnen dan vragen wat het gemiddelde aantal vrije worpen is, voordat deze speler er acht maakt. Aangezien de verwachte waarde 8 / 0,8 = 10 is, is dit het aantal opnamen.