Gebruik van Quasiconcave Utility-functies in de economie

"Quasiconcave" is een wiskundig concept met verschillende toepassingen in de economie. Om de betekenis van de toepassingen van de term in de economie te begrijpen, is het nuttig om te beginnen met een korte beschouwing van de oorsprong en betekenis van de term in de wiskunde.

De term "quasiconcave" werd in het begin van de 20e eeuw geïntroduceerd in het werk van John von Neumann, Werner Fenchel en Bruno de Finetti, allemaal prominente wiskundigen met interesse in zowel theoretische als toegepaste wiskunde, hun onderzoek op gebieden zoals kansrekening, speltheorie en topologie legde uiteindelijk de basis voor een onafhankelijk onderzoeksveld dat bekend staat als 'gegeneraliseerde convexiteit'. Hoewel de term "quasiconcave: toepassingen heeft op vele gebieden, inclusief economie, het is ontstaan ​​op het gebied van gegeneraliseerde convexiteit als een topologisch concept.

Wayne State Mathematics Professor Robert Bruner's korte en leesbare uitleg van topologie begint met het besef dat topologie een speciale vorm is van

Dit klinkt een beetje vreemd, maar bedenk dat als je een cirkel neemt en begint te squashen vanuit vier richtingen, je met voorzichtig squashen een vierkant kunt maken. Een vierkant en een cirkel zijn dus topologisch equivalent. Evenzo, als je een kant van een driehoek buigt totdat je ergens langs die kant een andere hoek hebt gemaakt, met meer buigen, duwen en trekken, kun je een driehoek in een vierkant veranderen. Nogmaals, een driehoek en een vierkant zijn topologisch equivalent.

Quasiconcave is een topologische eigenschap die concaafheid omvat. Als je een wiskundige functie tekent en de grafiek min of meer lijkt op een slecht gemaakte kom met een paar hobbels erin, maar heeft nog steeds een depressie in het midden en twee uiteinden die naar boven kantelen, dat is een quasiconcave-functie.

Het blijkt dat een concave functie slechts een specifiek voorbeeld is van een quasiconcave-functie - een zonder de hobbels. Vanuit het perspectief van een leek (een wiskundige heeft een meer rigoureuze manier om het uit te drukken), een quasiconcave-functie omvat alle concave functies en ook alle functies die in het algemeen concave zijn maar die mogelijk secties hebben convex. Stel je opnieuw een slecht gemaakte kom voor met een paar hobbels en uitsteeksels erin.

Een manier om de voorkeuren van consumenten wiskundig weer te geven (evenals vele andere gedragingen) is met een hulpprogramma functie. Als consumenten bijvoorbeeld de voorkeur geven aan goed A boven goed B, dan drukt de nutsfunctie U die voorkeur uit als:

U (A)> U (B)

Als je deze functie uitzet voor een echte verzameling consumenten en goederen, zul je merken dat de grafiek een beetje op een kom lijkt - in plaats van een rechte lijn, zit er een doorzak in het midden. Deze doorzakking vertegenwoordigt over het algemeen de afkeer van consumenten voor risico's. Nogmaals, in de echte wereld is deze afkeer niet consistent: de grafiek van de voorkeuren van de consument lijkt een beetje op een imperfecte kom, een met een aantal hobbels erin. In plaats van concaaf te zijn, is het over het algemeen concaaf maar niet perfect zo op elk punt in de grafiek, die kleine convexiteitssecties kan hebben.

Met andere woorden, onze voorbeeldgrafiek van consumentenvoorkeuren (net zoals veel voorbeelden uit de echte wereld) is quasiconcave. Ze vertellen iedereen die meer wil weten over consumentengedrag - bijvoorbeeld economen en bedrijven die consumptiegoederen verkopen - waar en hoe klanten reageren op veranderingen in goede bedragen of kosten.