Hypothesetesten met één-monster t-tests

Je hebt je gegevens verzameld, je hebt je model, je hebt je regressie uitgevoerd en je hebt je resultaten. Wat doe je nu met je resultaten?

In dit artikel beschouwen we het Okun's Law-model en de resultaten van het artikel "Hoe een pijnloos econometrieproject te doen". Er zal één voorbeeld van t-tests worden geïntroduceerd en gebruikt om te zien of de theorie overeenkomt met de gegevens.

De theorie achter Okun's Law werd beschreven in het artikel: "Instant Econometrics Project 1 - Okun's Law":

Okun's wet is een empirische relatie tussen de verandering in het werkloosheidspercentage en de procentuele groei van de reële output, gemeten met het BNP. Arthur Okun schatte de volgende relatie tussen de twee:

Y_t = - 0,4 (X_t - 2.5 )

Dit kan ook worden uitgedrukt als een meer traditionele lineaire regressie als:

Y_t = 1 - 0,4 X_t

Waar:
Y_t is de verandering in het werkloosheidspercentage in procentpunten.
X_t is het groeipercentage van de reële output, gemeten aan de hand van het reële BNP.

Onze theorie is dus dat de waarden van onze parameters zijn

We gebruikten Amerikaanse gegevens om te zien hoe goed de gegevens overeenkwamen met de theorie. Van "Hoe een pijnloos econometrieproject te doen"we zagen dat we het model moesten schatten:

Met behulp van Microsoft Excel hebben we de parameters berekend b₁ en B₂. Nu moeten we kijken of die parameters overeenkomen met onze theorie, en dat was dat B₁ = 1 en B₂ = -0.4. Voordat we dat kunnen doen, moeten we enkele cijfers opschrijven die Excel ons heeft gegeven. Als u naar de schermafbeelding van de resultaten kijkt, merkt u dat de waarden ontbreken. Dat was opzettelijk, omdat ik wil dat u de waarden zelf berekent. Voor de doeleinden van dit artikel zal ik enkele waarden verzinnen en u laten zien in welke cellen u de echte waarden kunt vinden. Voordat we met onze hypothesetests beginnen, moeten we de volgende waarden noteren:

• Aantal waarnemingen (cel B8) Obs = 219

• Coëfficiënt (cel B17) b₁ = 0.47 (verschijnt op de kaart als "AAA")
  Standaardfout (cel C17) se₁ = 0.23 (verschijnt op de kaart als "CCC")
  t Stat (cel D17) t₁ = 2.0435 (verschijnt op de kaart als "x")
  P-waarde (cel E17) p₁ = 0.0422 (verschijnt op de kaart als "x")

• Coëfficiënt (cel B18) b₂ = - 0.31 (verschijnt op de kaart als "BBB")
  Standaardfout (cel C18) se₂ = 0.03 (verschijnt op de kaart als "DDD")
  t Stat (cel D18) t₂ = 10.333 (verschijnt op de kaart als "x")
  P-waarde (cel E18) p₂ = 0.0001 (verschijnt op de kaart als "x")

In de volgende sectie zullen we kijken naar hypothesetesten en we zullen zien of onze gegevens overeenkomen met onze theorie.

Zorg ervoor dat u doorgaat naar pagina 2 van "Hypothesetesten met behulp van één-monster t-tests".

Eerst bekijken we onze hypothese dat de onderscheppingsvariabele gelijk is aan één. Het idee hierachter wordt vrij goed uitgelegd in Gujarati's Essentials van econometrie. Op pagina 105 beschrijft Gujarati hypothesetesten:

• '[S] stellen wij voor hypothese dat is waar B₁ heeft een bepaalde numerieke waarde, bijvoorbeeld B₁ = 1. Onze taak is nu om deze hypothese te 'testen'. '' In de taal van hypothese testen van een hypothese zoals B₁ = 1 heet de nulhypothese en wordt over het algemeen aangeduid met het symbool H₀. Dus H₀: B₁ = 1. De nulhypothese wordt meestal getoetst aan een alternatieve hypothese, aangegeven door het symbool H₁. De alternatieve hypothese kan drie vormen aannemen:
  H₁: B₁ > 1, dat een wordt genoemd eenzijdig alternatieve hypothese, of
  H₁: B₁ < 1, ook een eenzijdig alternatieve hypothese, of
  H₁: B₁ niet gelijk 1, dat een wordt genoemd dubbelzijdig alternatieve hypothese. Dat is de werkelijke waarde is groter of kleiner dan 1. ”

In het bovenstaande heb ik Gujarati's in onze hypothese vervangen om het gemakkelijker te maken om te volgen. In ons geval willen we een tweezijdige alternatieve hypothese, omdat we willen weten of B₁ is gelijk aan 1 of niet gelijk aan 1.

Het eerste dat we moeten doen om onze hypothese te testen, is door te rekenen met t-Test-statistiek. De theorie achter de statistiek valt buiten het bestek van dit artikel. Wat we in wezen doen, is een statistiek berekenen die kan worden getoetst aan een t-verdeling om te bepalen hoe waarschijnlijk het is dat de werkelijke waarde van de coëfficiënt gelijk is aan een hypothese waarde. Wanneer onze hypothese is B₁ = 1 we duiden onze t-statistiek aan als t₁(B₁=1) en het kan worden berekend met de formule:

t₁(B₁= 1) = (b₁ - B₁ / se₁)

Laten we dit proberen voor onze onderscheppingsgegevens. Bedenk dat we de volgende gegevens hadden:

• b₁ = 0.47
  se₁ = 0.23

Onze t-statistiek voor de hypothese dat B₁ = 1 is eenvoudig:

t₁(B₁=1) = (0.47 – 1) / 0.23 = 2.0435

Zo t₁(B₁=1) is 2.0435. We kunnen onze t-test ook berekenen voor de hypothese dat de hellingsvariabele gelijk is aan -0,4:

• b₂ = -0.31
  se₂ = 0.03

Onze t-statistiek voor de hypothese dat B₂ = -0.4 is eenvoudig:

t₂(B₂= -0.4) = ((-0.31) – (-0.4)) / 0.23 = 3.0000

Zo t₂(B₂= -0.4) is 3.0000. Vervolgens moeten we deze omzetten in p-waarden. De p-waarde "kan worden gedefinieerd als de laagste significantieniveau waarbij een nulhypothese kan worden afgewezen... In de regel geldt: hoe kleiner de p-waarde, des te sterker is het bewijs tegen de nulhypothese. "(Gujarati, 113) Als een standaard vuistregel, als de p-waarde lager is dan 0,05, verwerpen we de nulhypothese en accepteren we het alternatief hypothese. Dit betekent dat als de p-waarde geassocieerd is met de test t₁(B₁=1) is minder dan 0,05 we verwerpen de hypothese dat B₁=1 en accepteer de hypothese dat B₁ niet gelijk aan 1. Als de bijbehorende p-waarde gelijk is aan of groter is dan 0,05, doen we precies het tegenovergestelde, dat wil zeggen dat we de nulhypothese accepteren dat B₁=1.

Helaas kunt u de p-waarde niet berekenen. Om een ​​p-waarde te verkrijgen, moet je deze over het algemeen opzoeken in een grafiek. De meeste boeken met standaardstatistieken en econometrie bevatten een p-waardegrafiek achterin het boek. Gelukkig is er met de komst van internet een veel eenvoudigere manier om p-waarden te verkrijgen. De website Graphpad Quickcalcs: één voorbeeldtest stelt u in staat om snel en gemakkelijk p-waarden te verkrijgen. Op deze site kunt u als volgt zien hoe u voor elke test een p-waarde krijgt.

Stappen die nodig zijn om een ​​p-waarde voor B te schatten₁=1

• Klik op het keuzevak met "Voer gemiddelde, SEM en N in." Gemiddelde is de parameterwaarde die we hebben geschat, SEM is de standaardfout en N is het aantal waarnemingen.
• Enter 0.47 in het vak met het label "Mean:".
• Enter 0.23 in het vak met het label "SEM:"
• Enter 219 in het vak met het label "N:", omdat dit het aantal waarnemingen was dat we hadden.
• Onder '3. Geef de hypothetische gemiddelde waarde op "klik op het keuzerondje naast het lege vak. Voer in dat vak in 1, want dat is onze hypothese.
• Klik op "Nu berekenen"

U zou een uitvoerpagina moeten krijgen. Bovenaan de uitvoerpagina zou u de volgende informatie moeten zien:

• P-waarde en statistische significantie:
  De tweezijdige P-waarde is gelijk aan 0,0221
  Volgens conventionele criteria wordt dit verschil als statistisch significant beschouwd.

Onze p-waarde is dus 0,0221, wat minder is dan 0,05. In dit geval verwerpen we onze nulhypothese en accepteren we onze alternatieve hypothese. In onze woorden, voor deze parameter kwam onze theorie niet overeen met de gegevens.

Zorg ervoor dat u doorgaat naar pagina 3 van "Hypothesetesten met behulp van één-monster t-tests".

Nogmaals met behulp van de site Graphpad Quickcalcs: één voorbeeldtest kunnen we snel de p-waarde voor onze tweede hypothesetoets verkrijgen:

Stappen die nodig zijn om te schatten a p-waarde voor B₂= -0.4

• Klik op het keuzevak met "Voer gemiddelde in, SEM en N.". Gemiddelde is de parameterwaarde die we hebben geschat, SEM is de standaardfout en N is het aantal waarnemingen.
• Enter -0.31 in het vak met het label "Mean:".
• Enter 0.03 in het vak met het label "SEM:"
• Enter 219 in het vak met het label "N:", omdat dit het aantal waarnemingen was dat we hadden.
• Onder '3. Specificeer de hypothetische gemiddelde waarde ”klik op het keuzerondje naast het lege vak. Voer in dat vak in -0.4, want dat is onze hypothese.
• Klik op "Nu berekenen"

• P-waarde en statistische significantie: De tweezijdige P-waarde is gelijk aan 0,0030
  Volgens conventionele criteria wordt dit verschil als statistisch significant beschouwd.

We hebben Amerikaanse gegevens gebruikt om het Okun's Law-model te schatten. Met behulp van die gegevens ontdekten we dat zowel de onderscheppings- als de hellingparameters statistisch significant verschillen van die in de wet van Okun. Daarom kunnen we concluderen dat de wet van Okun in de Verenigde Staten niet van kracht is.

Nu je hebt gezien hoe je t-tests met één steekproef kunt berekenen en gebruiken, kun je de getallen interpreteren die je in je regressie hebt berekend.

Als je een vraag wilt stellen over econometrie, hypothesetesten of een ander onderwerp of commentaar op dit verhaal, gebruik dan het feedbackformulier. Als u geïnteresseerd bent in het winnen van geld voor uw economische paper of artikel, kijk dan eens naar "De Moffatt-prijs voor economisch schrijven 2004"