Wat zijn exponentiële groeifuncties?

Exponentiële functies vertellen de verhalen van explosieve verandering. De twee soorten exponentiële functies zijn exponentiële groei en exponentieel verval. Vier variabelen (procentuele verandering, tijd, het bedrag aan het begin van de periode en het bedrag aan het einde van de periode) spelen rollen in exponentiële functies. Het volgende richt zich op het gebruik van exponentiële groeifuncties om voorspellingen te doen.

Exponentiële groei is de verandering die optreedt wanneer een oorspronkelijk bedrag gedurende een bepaalde periode met een consistent tarief wordt verhoogd

Gebruik van exponentiële groei in het echte leven:

• Waarden van huizenprijzen
• Waarden van investeringen
• Toegenomen lidmaatschap van een populaire sociale netwerksite

Edloe and Co. vertrouwt op mond-tot-mondreclame, het oorspronkelijke sociale netwerk. Vijftig shoppers vertelden elk vijf mensen, en elk van die nieuwe shoppers vertelde het nog vijf mensen, enzovoort. De manager registreerde de groei van winkelklanten.

• Week 0:50 shoppers
• Week 1: 250 shoppers
• Week 2: 1.250 shoppers
• Week 3: 6.250 shoppers
• Week 4: 31.250 shoppers

Ten eerste, hoe weet u dat deze gegevens vertegenwoordigen exponentiële groei? Stel jezelf twee vragen.

1. Stijgen de waarden? Ja
2. Tonen de waarden een consistente procentuele stijging? Ja.

Percentage toename: (nieuwer - ouder) / (ouder) = (250 - 50) / 50 = 200/50 = 4,00 = 400%

Controleer of de procentuele toename de hele maand aanhoudt:

Percentage toename: (nieuwer - ouder) / (ouder) = (1,250 - 250) / 250 = 4,00 = 400%
Percentage toename: (nieuwer - ouder) / (ouder) = (6.250 - 1.250) / 1.250 = 4,00 = 400%

Voorzichtig - verwar exponentiële en lineaire groei niet.

Het volgende vertegenwoordigt lineaire groei:

• Week 1:50 shoppers
• Week 2:50 shoppers
• Week 3:50 shoppers
• Week 4:50 shoppers

Notitie: Lineaire groei betekent een consistent aantal klanten (50 shoppers per week); exponentiële groei betekent een consistente procentuele stijging (400%) van klanten.

Hier is een exponentiële groeifunctie:

y = een(1 + b)^X

• y: Het definitieve bedrag dat over een bepaalde periode overblijft
• een: Het oorspronkelijke bedrag
• X: Tijd
• De groeifactor is (1 + b).
• De variabele, b, is procentuele verandering in decimale vorm.

Vul de lege plekken in:

• een = 50 klanten
• b = 4.00

y = 50(1 + 4)^X

Notitie: Vul geen waarden in voor X en y. De waarden van X en y verandert gedurende de hele functie, maar het oorspronkelijke bedrag en de procentuele verandering blijven constant.

Stel dat de recessie, de belangrijkste motor van het winkelend publiek, 24 weken aanhoudt. Hoeveel wekelijkse shoppers heeft de winkel tijdens de 8^th week?

Pas op, verdubbel het aantal klanten in week 4 niet (31.250 * 2 = 62.500) en denk dat dit het juiste antwoord is. Onthoud dat dit artikel gaat over exponentiële groei, niet over lineaire groei.

Gebruik Order of Operations om te vereenvoudigen.

y = 50(1 + 4)^X

y = 50(1 + 4)⁸

y = 50(5)⁸ (Haakje)

y = 50 (390.625) (exponent)

y = 19.531.250 (vermenigvuldigen)

19.531.250 klanten

Voorafgaand aan het begin van de recessie schommelde de maandelijkse omzet van de winkel rond de $ 800.000. Een winkel omzet is het totale dollarbedrag dat klanten in de winkel uitgeven aan goederen en diensten.

Inkomsten van Edloe en Co.

• Voorafgaand aan de recessie: $ 800.000
• 1 maand na recessie: $ 880.000
• 2 maanden na recessie: $ 968.000
• 3 maanden na recessie: $ 1.171.280
• 4 maanden na recessie: $ 1.288.408

Gebruik de informatie over de inkomsten van Edloe en Co om 1 tot en met 7 te voltooien.

1. Wat zijn de oorspronkelijke inkomsten?
2. Wat is de groeifactor?
3. Hoe werkt dit datamodel exponentiële groei?
4. Schrijf een exponentiële functie die deze gegevens beschrijft.
5. Schrijf een functie om de inkomsten te voorspellen in de vijfde maand na het begin van de recessie.
6. Wat zijn de inkomsten in de vijfde maand na de start van de recessie?
7. Stel dat het domein van deze exponentiële functie 16 maanden is. Veronderstel met andere woorden dat de recessie 16 maanden zal duren. Op welk moment zullen de inkomsten meer dan 3 miljoen dollar bedragen?