Los vergelijkingen op: exponentiële groei

Exponentiële functies vertellen de verhalen van explosieve verandering. De twee soorten exponentiële functies zijn exponentiële groei en exponentieel verval. Vier variabelen - procentuele verandering, tijd, het bedrag aan het begin van de tijdsperiode en het bedrag aan het einde van de tijdsperiode - speel rollen in exponentiële functies. Dit artikel richt zich op het gebruik van redactiesommen om het bedrag aan het begin van de periode te vinden, een.

Exponentiële groei: de verandering die optreedt wanneer een oorspronkelijk bedrag gedurende een bepaalde periode met een consistent tarief wordt verhoogd

Gebruik van exponentiële groei in het echte leven:

• Waarden van huizenprijzen
• Waarden van investeringen
• Toegenomen lidmaatschap van een populaire sociale netwerksite

Hier is een exponentiële groeifunctie:

y = een(1 + b)^X

• y: Het definitieve bedrag dat over een bepaalde periode overblijft
• een: Het oorspronkelijke bedrag
• X: Tijd
• De groeifactor is (1 + b).
• De variabele, b, is procentuele verandering in decimale vorm.

Als je dit artikel leest, ben je waarschijnlijk ambitieus. Over zes jaar wil je misschien een undergraduate degree volgen aan Dream University. Met een prijskaartje van $ 120.000 roept Dream University financiële nachtmerries op. Na slapeloze nachten ontmoeten u, mama en papa een financiële planner. De bloeddoorlopen ogen van je ouders worden helder wanneer de planner een investering onthult met een groeipercentage van 8% waarmee je gezin het doel van $ 120.000 kan bereiken. Hard studeren. Als jij en je ouders vandaag $ 75.620,36 investeren, dan wordt Dream University jouw realiteit.

Deze functie beschrijft de exponentiële groei van de investering:

120,000 = een(1 +.08)⁶

• 120.000: definitief bedrag resterend na 6 jaar
• .08: Jaarlijks groeipercentage
• 6: Het aantal jaren dat de investering groeit
• a: Het initiële bedrag dat uw gezin heeft geïnvesteerd

Tip: Dankzij de symmetrische eigenschap van gelijkheid, 120.000 = een(1 +.08)⁶ is hetzelfde als een(1 +.08)⁶ = 120,000. (Symmetrische eigenschap van gelijkheid: als 10 + 5 = 15, dan 15 = 10 + 5.)

Als u de vergelijking liever herschrijft met de constante, 120.000, aan de rechterkant van de vergelijking, doe dat dan.

een(1 +.08)⁶ = 120,000

Toegegeven, de vergelijking ziet er niet uit als een lineaire vergelijking (6een = $ 120.000), maar het is oplosbaar. Blijf erbij!

een(1 +.08)⁶ = 120,000

Wees voorzichtig: los deze exponentiële vergelijking niet op door 120.000 door 6 te delen. Het is een verleidelijke wiskunde nee-nee.

1. Gebruik Volgorde van bewerkingen versimpelen.

een(1 +.08)⁶ = 120,000
een(1.08)⁶ = 120.000 (haakjes)
een(1.586874323) = 120.000 (exponent)

2. Los op door te delen

een(1.586874323) = 120,000
een(1.586874323)/(1.586874323) = 120,000/(1.586874323)
1een = 75,620.35523
een = 75,620.35523

Het oorspronkelijke te investeren bedrag is ongeveer $ 75.620,36.

3. Bevriezen - je bent nog niet klaar. Gebruik de volgorde van bewerkingen om uw antwoord te controleren.

120,000 = een(1 +.08)⁶
120,000 = 75,620.35523(1 +.08)⁶
120,000 = 75,620.35523(1.08)⁶ (Haakje)
120.000 = 75.620.35523 (1.586874323) (exponent)
120.000 = 120.000 (vermenigvuldiging)

Origineel werkblad

Boer en vrienden
Gebruik de informatie over de sociale netwerksite van de boer om de vragen 1-5 te beantwoorden.

Een boer startte een sociale netwerksite, farmerandfriends.org, die tips voor tuinieren in de achtertuin deelt. Toen de boerandfriends.org leden in staat stelde foto's en video's te plaatsen, groeide het lidmaatschap van de website exponentieel. Hier is een functie die die exponentiële groei beschrijft.

120,000 = een(1 + .40)⁶

1. Hoeveel mensen behoren tot farmerandfriends.org 6 maanden nadat het delen van foto's en video's mogelijk maakte? 120.000 mensen
   Vergelijk deze functie met de oorspronkelijke exponentiële groeifunctie:
   120,000 = een(1 + .40)⁶
   y = een(1 +b)^X
   Het oorspronkelijke bedrag, y, gaat 120.000 in deze functie over sociale netwerken.
2. Vertegenwoordigt deze functie exponentiële groei of verval? Deze functie vertegenwoordigt om twee redenen exponentiële groei. Reden 1: Uit de informatieparagraaf blijkt dat "het lidmaatschap van de website exponentieel is gegroeid". Reden 2: Een positief teken is eerder b, de maandelijkse procentuele wijziging.
3. Wat is de maandelijkse procentuele toename of afname? De maandelijkse procentuele verhoging is 40%, 0,40 geschreven als een percentage.
4. Hoeveel leden behoorden 6 maanden geleden tot boer en vrienden .org, vlak voordat het delen van foto's en video's werd geïntroduceerd? Ongeveer 15.937 leden
   Gebruik Order of Operations om te vereenvoudigen.
   120,000 = een(1.40)⁶
   120,000 = een(7.529536)
   Verdeel om op te lossen.
   120,000/7.529536 = een(7.529536)/7.529536
   15,937.23704 = 1een
   15,937.23704 = een
   Gebruik Order of Operations om uw antwoord te controleren.
   120,000 = 15,937.23704(1 + .40)⁶
   120,000 = 15,937.23704(1.40)⁶
   120,000 = 15,937.23704(7.529536)
   120,000 = 120,000
5. Als deze trends zich voortzetten, hoeveel leden zullen 12 maanden na de introductie van het delen van foto's en het delen van video's tot de website behoren? Ongeveer 903.544 leden
   Sluit aan wat u weet over de functie. Onthoud, deze keer heb je een, het oorspronkelijke bedrag. Je lost op y, het resterende bedrag aan het einde van een periode.
   y = een(1 + .40)^X
   y = 15,937.23704(1+.40)¹²
   Gebruik Order of Operations om te vinden y.
   y = 15,937.23704(1.40)¹²
   y = 15,937.23704(56.69391238)
   y = 903,544.3203