Een gebruik van een chikwadraatverdeling is met hypothesetests voor multinomiale experimenten. Om te zien hoe dit hypothesetest werkt, zullen we de volgende twee voorbeelden onderzoeken. Beide voorbeelden doorlopen dezelfde reeks stappen:
- Vorm de nul- en alternatieve hypothesen
- Bereken de teststatistiek
- Vind de kritische waarde
- Maak een beslissing over het al dan niet afwijzen van onze nulhypothese.
Voorbeeld 1: een eerlijke munt
Voor ons eerste voorbeeld willen we naar een munt kijken. Een eerlijke munt heeft een gelijke kans van 1/2 opkomende kop of munt. We gooien 1000 keer een munt en noteren de resultaten van in totaal 580 koppen en 420 staarten. We willen de hypothese testen op een vertrouwensniveau van 95% dat de munt die we hebben omgedraaid eerlijk is. Formeler is het nulhypotheseH0 is dat de munt eerlijk is. Aangezien we de waargenomen frequenties van resultaten van een toss vergelijken met de verwachte frequenties van een geïdealiseerde eerlijke munt, moet een chikwadraattoets worden gebruikt.
Bereken de Chi-Square-statistiek
We beginnen met het berekenen van de chikwadraatstatistiek voor dit scenario. Er zijn twee evenementen: kop en munt. Heads heeft een waargenomen frequentie van f1 = 580 met verwachte frequentie van e1 = 50% x 1000 = 500. Staarten hebben een waargenomen frequentie van f2 = 420 met een verwachte frequentie van e1 = 500.
We gebruiken nu de formule voor de chikwadraatstatistiek en zien dat χ2 = (f1 - e1 )2/e1 + (f2 - e2 )2/e2= 802/500 + (-80)2/500 = 25.6.
Vind de kritische waarde
Vervolgens moeten we de kritische waarde vinden voor de juiste chikwadraatverdeling. Aangezien er twee uitkomsten zijn voor de medaille, zijn er twee categorieën om te overwegen. Het aantal graden van vrijheid is een minder dan het aantal categorieën: 2 - 1 = 1. We gebruiken de chikwadraatverdeling voor dit aantal vrijheidsgraden en zien dat χ20.95=3.841.
Afwijzen of niet afwijzen?
Ten slotte vergelijken we de berekende chikwadraatstatistiek met de kritische waarde uit de tabel. Sinds 25.6> 3.841 verwerpen we de nulhypothese dat dit een eerlijke munt is.
Voorbeeld 2: A Fair Die
Een redelijke dobbelsteen heeft een gelijke kans van 1/6 om een, twee, drie, vier, vijf of zes te gooien. We gooien 600 keer met een dobbelsteen en merken op dat we 106 keer, 90 keer, 98 keer drie, 102 keer vier, 100 keer vijf keer en 104 keer zes keer gooien. We willen de hypothese testen met een vertrouwensniveau van 95% dat we een eerlijke dood hebben.
Bereken de Chi-Square-statistiek
Er zijn zes evenementen, elk met een verwachte frequentie van 1/6 x 600 = 100. De waargenomen frequenties zijn f1 = 106, f2 = 90, f3 = 98, f4 = 102, f5 = 100, f6 = 104,
We gebruiken nu de formule voor de chikwadraatstatistiek en zien dat χ2 = (f1 - e1 )2/e1 + (f2 - e2 )2/e2+ (f3 - e3 )2/e3+(f4 - e4 )2/e4+(f5 - e5 )2/e5+(f6 - e6 )2/e6 = 1.6.
Vind de kritische waarde
Vervolgens moeten we de kritische waarde vinden voor de juiste chikwadraatverdeling. Aangezien er zes categorieën uitkomsten zijn voor de dobbelsteen, is het aantal vrijheidsgraden één minder dan dit: 6 - 1 = 5. We gebruiken de chi-kwadraatverdeling voor vijf vrijheidsgraden en zien dat χ20.95=11.071.
Afwijzen of niet afwijzen?
Ten slotte vergelijken we de berekende chikwadraatstatistiek met de kritische waarde uit de tabel. Aangezien de berekende chi-kwadraat-statistiek 1.6 is, is kleiner dan onze kritische waarde van 11.071, wij niet afwijzen de nulhypothese.