We leren vrij vroeg in onze wiskundecarrière dat de faculteit, gedefinieerd voor niet-negatieve gehele getallen n, is een manier om herhaalde vermenigvuldiging te beschrijven. Het wordt aangegeven door het gebruik van een uitroepteken. Bijvoorbeeld:
De enige uitzondering op deze definitie is nul faculteit, waarbij 0! = 1. Als we deze waarden voor de faculteit bekijken, kunnen we paren n met n!. Dit geeft ons de punten (0, 1), (1, 1), (2, 2), (3, 6), (4, 24), (5, 120), (6, 720), en zo Aan.
De definitie van de gammafunctie is erg complex. Het gaat om een ingewikkeld ogende formule die er heel vreemd uitziet. De gammafunctie gebruikt enige calculus in zijn definitie, evenals de aantal e In tegenstelling tot meer bekende functies zoals polynomen of goniometrische functies, wordt de gammafunctie gedefinieerd als de onjuiste integraal van een andere functie.
De definitie van de gammafunctie kan worden gebruikt om een aantal identiteiten te demonstreren. Een van de belangrijkste hiervan is dat Γ (
z + 1 ) = z Γ( z ). We kunnen dit gebruiken, en het feit dat Γ (1) = 1 uit de directe berekening:Maar we hoeven niet alleen hele getallen in de gammafunctie in te voeren. Elk complex getal dat geen negatief geheel getal is, bevindt zich in het domein van de gammafunctie. Dit betekent dat we de faculteit kunnen uitbreiden naar andere getallen dan niet-negatieve gehele getallen. Van deze waarden is een van de meest bekende (en verrassende) resultaten dat Γ (1/2) = √π.
Een ander resultaat dat vergelijkbaar is met het laatste is dat Γ (1/2) = -2π. Inderdaad, de gammafunctie produceert altijd een uitvoer van een veelvoud van de vierkantswortel van pi wanneer een oneven veelvoud van 1/2 wordt ingevoerd in de functie.
De gammafunctie komt voor in veel, schijnbaar niet-gerelateerde, wiskundige gebieden. In het bijzonder is de veralgemening van de faculteit die door de gammafunctie wordt verschaft, nuttig bij sommige combinatorische en waarschijnlijkheidsproblemen. Sommige kansverdelingen worden direct gedefinieerd in termen van de gammafunctie. Zo wordt de gammadistributie vermeld in termen van de gammafunctie. Deze verdeling kan worden gebruikt om het tijdsinterval tussen aardbevingen te modelleren. Student's distributie, die kan worden gebruikt voor gegevens waarbij we een onbekende standaarddeviatie van de populatie hebben, en de chikwadraatverdeling wordt ook gedefinieerd in termen van de gammafunctie.