Hoe Powerball-kansen te berekenen

Powerball is een multistate loterij dat is behoorlijk populair vanwege de jackpots van miljoenen dollars. Sommige van deze jackpots bereiken waarden van meer dan $ 100 miljoen. Een interessante zoektocht vanuit a probabilistisch zin is: "Hoe zijn de kansen berekend op basis van de waarschijnlijkheid van winnen Powerball? '

Eerst zullen we de regels van Powerball onderzoeken zoals deze momenteel is geconfigureerd. Bij elke trekking worden twee trommels vol ballen grondig gemengd en gerandomiseerd. De eerste drum bevat witte ballen genummerd van 1 tot 59. Vijf worden getrokken zonder vervanging van deze trommel. De tweede drum heeft rode ballen die zijn genummerd van 1 tot 35. Een daarvan is getekend. Het doel is om zoveel mogelijk van deze nummers te matchen.

De volledige jackpot wordt gewonnen wanneer alle zes door een speler geselecteerde nummers perfect passen bij de getrokken ballen. Er zijn prijzen met lagere waarden voor gedeeltelijke matching, in totaal negen verschillende manieren om een ​​dollarbedrag van Powerball te winnen. Deze manieren om te winnen zijn:

• Het matchen van alle vijf witte ballen en de rode bal wint de hoofdprijs jackpot. De waarde hiervan hangt af van hoe lang het geleden is dat iemand deze hoofdprijs heeft gewonnen.
• Het matchen van alle vijf witte ballen maar niet de rode bal wint $ 1.000.000.
• Het matchen van precies vier van de vijf witte ballen en de rode bal wint $ 10.000.
• Het matchen van precies vier van de vijf witte ballen, maar niet de rode, wint $ 100.
• Het matchen van precies drie van de vijf witte ballen en de rode bal wint $ 100.
• Komt overeen met precies drie van de vijf witte ballen, maar niet de rode, wint $ 7.
• Het matchen van precies twee van de vijf witte ballen en de rode bal wint $ 7.
• Komt overeen met precies één van de vijf witte ballen en de rode bal wint $ 4.
• Alleen de rode bal matchen, maar geen van de witte ballen wint $ 4.

We zullen kijken hoe we elk van deze kansen kunnen berekenen. Bij al deze berekeningen is het belangrijk op te merken dat de volgorde van hoe de ballen uit de trommel komen niet belangrijk is. Het enige dat telt is de set ballen die worden getrokken. Om deze reden zijn onze berekeningen betrokken combinaties en geen permutaties.

Ook handig bij elke onderstaande berekening is het totale aantal combinaties dat kan worden getekend. We hebben er vijf geselecteerd uit de 59 witte ballen, of gebruik de notatie voor combinaties, C (59, 5) = 5,006,386 manieren om dit te laten gebeuren. Er zijn 35 manieren om de rode bal te selecteren, wat resulteert in 35 x 5.006.386 = 175.223.510 mogelijke selecties.

Hoewel de jackpot van het matchen van alle zes de ballen het moeilijkst te verkrijgen is, is het de gemakkelijkste kans om te berekenen. Uit de veelheid van 175.223.510 mogelijke selecties is er precies één manier om de jackpot te winnen. De kans dat een bepaald ticket de jackpot wint, is dus 1 / 175.223.510.

Om $ 1.000.000 te winnen, moeten we de vijf witte ballen matchen, maar niet de rode. Er is maar één manier om alle vijf te matchen. Er zijn 34 manieren om de rode bal niet te matchen. Dus de kans om $ 1.000.000 te winnen is 34 / 175.223.510, of ongeveer 1 / 5.153.633.

Voor een prijs van $ 10.000 moeten we vier van de vijf witte ballen en de rode matchen. Er zijn C (5,4) = 5 manieren om vier van de vijf te matchen. De vijfde bal moet een van de resterende 54 zijn die niet zijn getrokken, en er zijn dus C (54, 1) = 54 manieren om dit te laten gebeuren. Er is maar 1 manier om de rode bal te matchen. Dit betekent dat er 5 x 54 x 1 = 270 manieren zijn om precies vier witte ballen en de rode te matchen, wat een waarschijnlijkheid geeft van 270 / 175.223.510, of ongeveer 1 / 648.976.

Een manier om een ​​prijs van $ 100 te winnen, is door vier van de vijf witte ballen te matchen en niet door de rode. Net als in het vorige geval zijn er C (5,4) = 5 manieren om vier van de vijf te matchen. De vijfde bal moet een van de resterende 54 zijn die niet zijn getrokken, en er zijn dus C (54, 1) = 54 manieren om dit te laten gebeuren. Deze keer zijn er 34 manieren om de rode bal niet te matchen. Dit betekent dat er 5 x 54 x 34 = 9180 manieren zijn om precies vier witte ballen te matchen, maar niet de rode, wat een waarschijnlijkheid geeft van 9180 / 175.223.510, of ongeveer 1 / 19.088.

Een andere manier om een ​​prijs van $ 100 te winnen, is door precies drie van de vijf witte ballen te matchen en ook door de rode. Er zijn C (5,3) = 10 manieren om drie van de vijf te matchen. De resterende witte ballen moeten een van de resterende 54 zijn die niet zijn getrokken, en er zijn dus C (54, 2) = 1431 manieren om dit te laten gebeuren. Er is één manier om de rode bal te matchen. Dit betekent dat er 10 x 1431 x 1 = 14.310 manieren zijn om precies drie witte ballen en de rode te matchen, wat een kans geeft van 14.310 / 175.223.510 of ongeveer 1 / 12.245.

Een manier om een ​​prijs van $ 7 te winnen, is door precies drie van de vijf witte ballen te matchen en niet door de rode. Er zijn C (5,3) = 10 manieren om drie van de vijf te matchen. De resterende witte ballen moeten een van de resterende 54 zijn die niet zijn getrokken, en er zijn dus C (54, 2) = 1431 manieren om dit te laten gebeuren. Deze keer zijn er 34 manieren om de rode bal niet te matchen. Dit betekent dat er 10 x 1431 x 34 = 486.540 manieren zijn om precies drie witte ballen te matchen, maar niet de rode, wat een kans geeft van 486.540 / 175.223.510, of ongeveer 1/360.

Een andere manier om een ​​prijs van $ 7 te winnen, is door precies twee van de vijf witte ballen te matchen en ook door de rode. Er zijn C (5,2) = 10 manieren om twee van de vijf te matchen. De resterende witte ballen moeten een van de resterende 54 zijn die niet zijn getrokken, en er zijn dus C (54, 3) = 24.804 manieren om dit te laten gebeuren. Er is één manier om de rode bal te matchen. Dit betekent dat er 10 x 24.804 x 1 = 248.040 manieren zijn om precies twee witte ballen en de rode te matchen, wat een kans geeft van 248.040 / 175.223.510, of ongeveer 1/706.

Een manier om een ​​prijs van $ 4 te winnen, is door precies een van de vijf witte ballen te matchen en ook door de rode. Er zijn C (5,4) = 5 manieren om een ​​van de vijf te matchen. De resterende witte ballen moeten een van de resterende 54 zijn die niet zijn getrokken, en er zijn dus C (54, 4) = 316,251 manieren om dit te laten gebeuren. Er is één manier om de rode bal te matchen. Dit betekent dat er 5 x 316.251 x1 = 1.581.255 manieren zijn om precies één witte bal en de rode te matchen, wat een kans geeft van 1.581.255 / 175.223.510, of ongeveer 1/111.

Een andere manier om een ​​prijs van $ 4 te winnen, is door geen van de vijf witte ballen te matchen, maar de rode. Er zijn 54 ballen die niet behoren tot de vijf geselecteerde, en we hebben C (54, 5) = 3.162.510 manieren om dit te laten gebeuren. Er is één manier om de rode bal te matchen. Dit betekent dat er 3.162.510 manieren zijn om geen van de ballen te matchen behalve de rode, wat een waarschijnlijkheid geeft van 3.162.510 / 175.223.510, of ongeveer 1/55.

Deze zaak is enigszins contra-intuïtief. Er zijn 36 rode ballen, dus we kunnen denken dat de kans dat een ervan overeenkomt 1/36 is. Dit negeert echter de andere voorwaarden die door de witte ballen worden opgelegd. Veel combinaties met de juiste rode bal bevatten ook wedstrijden op sommige van de witte ballen.