Equivalente vergelijkingen in Algebra begrijpen

Gelijkwaardige vergelijkingen zijn stelsels van vergelijkingen die dezelfde oplossingen hebben. Het identificeren en oplossen van equivalente vergelijkingen is een waardevolle vaardigheid, niet alleen in algebra-klasse maar ook in het dagelijks leven. Bekijk voorbeelden van equivalente vergelijkingen, hoe u deze kunt oplossen voor een of meer variabelen en hoe u deze vaardigheid buiten een klaslokaal kunt gebruiken.

Belangrijkste leerpunten

De eenvoudigste voorbeelden van equivalente vergelijkingen hebben geen variabelen. Deze drie vergelijkingen zijn bijvoorbeeld gelijk aan elkaar:

• 3 + 2 = 5
• 4 + 1 = 5
• 5 + 0 = 5

Erkennen dat deze vergelijkingen equivalent zijn, is geweldig, maar niet bijzonder nuttig. Gewoonlijk vraagt ​​een equivalent vergelijkingsprobleem u om een ​​variabele op te lossen om te zien of deze hetzelfde is (hetzelfde) wortel) als die in een andere vergelijking.

De volgende vergelijkingen zijn bijvoorbeeld equivalent:

• x = 5
• -2x = -10

In beide gevallen is x = 5. Hoe weten we dit? Hoe los je dit op voor de vergelijking "-2x = -10"? De eerste stap is om de regels van equivalente vergelijkingen te kennen:

• Toevoegen of het aftrekken van hetzelfde getal of dezelfde uitdrukking aan beide zijden van een vergelijking levert een equivalente vergelijking op.
• Vermenigvuldigen of delen van beide zijden van een vergelijking met hetzelfde niet-nul getal levert een equivalente vergelijking op.
• Beide zijden van de vergelijking naar de dezelfde vreemde kracht of het nemen van dezelfde oneven wortel zal een equivalente vergelijking produceren.
• Als beide zijden van een vergelijking niet- zijnnegatief, beide zijden van een vergelijking verhogen naar dezelfde even macht of dezelfde even wortel nemen, geeft een equivalente vergelijking.

Stel deze regels in de praktijk om te bepalen of deze twee vergelijkingen equivalent zijn:

• x + 2 = 7
• 2x + 1 = 11

Om dit op te lossen, moet u voor elk "x" vinden vergelijking. Als "x" hetzelfde is voor beide vergelijkingen, zijn ze equivalent. Als "x" verschillend is (d.w.z. de vergelijkingen hebben verschillende wortels), dan zijn de vergelijkingen niet equivalent. Voor de eerste vergelijking:

• x + 2 = 7
• x + 2 - 2 = 7 - 2 (beide zijden aftrekken met hetzelfde nummer)
• x = 5

Voor de tweede vergelijking:

• 2x + 1 = 11
• 2x + 1 - 1 = 11 - 1 (beide zijden aftrekken met hetzelfde nummer)
• 2x = 10
• 2x / 2 = 10/2 (beide zijden van de vergelijking delen door hetzelfde nummer)
• x = 5

Dus ja, de twee vergelijkingen zijn equivalent omdat x = 5 in elk geval.

U kunt equivalente vergelijkingen gebruiken in het dagelijks leven. Het is vooral handig tijdens het winkelen. Je houdt bijvoorbeeld van een bepaald shirt. Het ene bedrijf biedt het shirt voor $ 6 en heeft $ 12 verzendkosten, terwijl een ander bedrijf het shirt voor $ 7,50 aanbiedt en $ 9 verzendkosten heeft. Welk shirt heeft de beste prijs? Hoeveel shirts (misschien wilt u ze voor vrienden krijgen) zou u moeten kopen voor dezelfde prijs voor beide bedrijven?

Om dit probleem op te lossen, laat "x" het aantal shirts zijn. Stel om te beginnen x = 1 in voor de aankoop van één shirt. Voor bedrijf # 1:

• Prijs = 6x + 12 = (6) (1) + 12 = 6 + 12 = $ 18

Voor bedrijf # 2:

• Prijs = 7,5x + 9 = (1) (7,5) + 9 = 7,5 + 9 = $ 16,50

Dus als u één shirt koopt, biedt het tweede bedrijf een betere deal.

Om het punt te vinden waar de prijzen gelijk zijn, laat "x" het aantal shirts, maar stel de twee vergelijkingen gelijk aan elkaar. Los het probleem op met "x" om te bepalen hoeveel shirts u moet kopen:

• 6x + 12 = 7,5x + 9
• 6x - 7,5x = 9 - 12 (aftrekken dezelfde nummers of uitdrukkingen van elke zijde)
• -1.5x = -3
• 1.5x = 3 (beide zijden delen door hetzelfde nummer, -1)
• x = 3 / 1.5 (beide zijden delen door 1.5)
• x = 2

Als u twee shirts koopt, is de prijs hetzelfde, ongeacht waar u deze krijgt. U kunt dezelfde wiskunde gebruiken om te bepalen welk bedrijf u een betere deal geeft met grotere bestellingen en ook om te berekenen hoeveel u bespaart met het ene bedrijf boven het andere. Zie, algebra is nuttig!

Als u twee vergelijkingen en twee onbekenden (x en y) hebt, kunt u bepalen of twee sets lineaire vergelijkingen equivalent zijn.

Als u bijvoorbeeld de vergelijkingen krijgt:

• -3x + 12y = 15
• 7x - 10y = -2

U kunt bepalen of het volgende systeem equivalent is:

• -x + 4y = 5
• 7x -10y = -2

Naar los dit probleem op, zoek "x" en "y" voor elk stelsel vergelijkingen. Als de waarden hetzelfde zijn, zijn de stelsels vergelijkingen equivalent.

Begin met de eerste set. Om er twee op te lossen vergelijkingen met twee variabelen, isoleer de ene variabele en sluit de oplossing aan op de andere vergelijking. Om de variabele "y" te isoleren:

• -3x + 12y = 15
• -3x = 15 - 12j
• x = - (15 - 12y) / 3 = -5 + 4y (plug in voor "x" in de tweede vergelijking)
• 7x - 10y = -2
• 7 (-5 + 4y) - 10y = -2
• -35 + 28j - 10j = -2
• 18y = 33
• y = 33/18 = 11/6

Steek nu "y" terug in een van beide vergelijkingen om op te lossen voor "x":

• 7x - 10y = -2
• 7x = -2 + 10 (11/6)

Als je dit doorloopt, krijg je uiteindelijk x = 7/3.

Om de vraag te beantwoorden, jij kon dezelfde principes toepassen op de tweede reeks vergelijkingen om op te lossen voor "x" en "y" om te ontdekken dat ja, ze zijn inderdaad equivalent. Het is gemakkelijk om vast te komen te zitten in de algebra, dus het is een goed idee om je werk te controleren met een online vergelijkingsoplosser.

De slimme student zal echter merken dat de twee sets vergelijkingen equivalent zijn zonder enige moeilijke berekeningen uit te voeren. Het enige verschil tussen de eerste vergelijking in elke set is dat de eerste drie keer de tweede is (equivalent). De tweede vergelijking is precies hetzelfde.